浅谈初中数学的例题教学

2014-02-20 01:59张育丽
中小学教学研究 2014年2期
关键词:切点切线等腰三角

张育丽

近年来,数学教研的工作重点已转到“优化课堂教学”上来。注重例题的教学,优化教材例题教学,充分发挥例题的桥梁作用,这是每位数学教师需要深入研讨的重要课题。在解题中,不断改变解题方向,从不同角度,不同的侧面去探讨问题的解法,寻求最佳方法,将复杂问题转化为简单问题,将抽象化为具体,化难为易,化整为零,从而提高学生的解题能力和探究推理能力,使教学达到“事半功倍”的效果。

一、透视例题的意图,化陌生为熟悉

教材中的每个例题的编排都有其意图,都能够比较具体地反映教学的有关内容,及学生应掌握的程度。由于它们被安排在不同的教学环节上,其目的也就有所侧重。因此,教师必须根据教学的实际和需要,深入钻研例题,领会和认识例题的意图,突出重点,兼顾其他,有意识地引导学生对例题的意图进行透视,给学生创设自我学习的情境,逐步地培养学生的学习能力和习惯。

例1:当(1)x=5,y=3;(2)x=5,y=-3时,求:代数式|x|+|y|-2|x||y|的值。

我引导学生透视例题意图,如下:

①复习代数式的值的概念。②进一步熟练求代数式的值的方法和步骤。③复习巩固绝对值的概念。④掌握有关绝对值运算的方法。⑤此例两个小题答案表明特殊情形下,同一字母取不同的数值时,同一代数式的值可能相同的事实。⑥找出本例特殊的原因。在学生明确了例题意图后,教师便可启发学生进行自我完善学习,使学生的学习效果符合例题意图要求,经常进行如此训练,不仅大大提高了例题教学效果,而且有助于培养学生的自学能力和良好的学习品质。

所以,例题教学要保证学生能听得懂,接受得了。要做到这一点,教师备课时必须做到“吃透两头”:一头是“吃透例题”,即对例题的内容、知识范围、与前后知识的联系、技能水平、难易程度等要一清二楚;另一头是“吃透学生”,即对学生的知识水平、能力水平、经验水平、年龄特征等要心中有数。对于一些难度较大,估计学生一下接受有困难的例题,要降低难度,搭好台阶,使学生感到只要自己“跳一跳”就能达到。

二、发掘课本习题的潜在功能,化复杂为简单

教材中的例题,习题大多数都是经过专家严格筛选而配置的,具有典型性和探索性,所蕴含的内容也相当丰富,所以教师应引导学生研究、发掘例题、习题的潜在功能,并将其视为教学的主要内容之一,它有利于培养学生能力,开发学生智力,使学生灵活运用已学知识解决问题。

例2:解关于x的方程:x+■=c+■(c≠0)

它的根是x1=c,x2=■,这个方程的两个根互为倒数且恰是方程右边互为倒数的常数,引导学生观察,掌握这些特点,就可以灵活运用这个结论简捷地解决课外的许多习题。

例3:(竞赛题)解方程■+■=■

解法一:用换元法,y=■则方程变为y+■=■,先求出y,再求x。

解法二:利用例3结论,将方程变为■+■=2+■,从而得:■=2,■=■即可求出原方程的根。

像这样引导学生研究一些例题,发掘其功能,利用它解决问题,不仅能收到事半功倍,以少胜多的效果,而且还能化难为易,激发学生学习兴趣。

由于教材正文中有的引例的计算不简便,不利于整个解题过程的操作与展示,笔者把课后的练习题设置为例题。

例4:某饮料厂1月份生产饮料的产量为500吨,3月份上升到720吨,求这个饮料厂2月份和3月份产量的平均增长率。

分析:设平均增长率为x,1月份产量为500吨,2月份产量为500(1+x)吨,3月份产量为500(1+x)(1+x)即500(1+x)2吨,列方程500(1+x)2=720

解题之后,延伸分析:如果1月份产量为a吨,3月份产量为b吨,则2月份产量为a(1+x)吨,3月份产量为a(1+x)(1+x)即a(1+x)2吨,列方程a(1+x)2 =b

总结平均增长率问题规律:a(1+x)n=b其中a为增长的初始数据,n为增长的次数,b为增长后的最终数据,如果是降低百分率问题,只需将加号变为减号即可。有了这个公式,学生再遇到此类问题就可“迎刃而解”。

三、通过例题引申,化封闭为开放

在例题的教学中,不失时机地进行适当的引申,可以激发学生的求知欲,养成深入研究问题的习惯。

九年级上册第97页——思考探索

例5:如图1,在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P从点A沿着边AB向点B以1cm/s的速度移动,同时,点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动,问:几秒后△PBQ的面积等于8cm2?

图1

解答:设x秒后△PBQ的面积等于8cm2,则AP=x,BQ=2x;

∴PB=AB-AP=6-x ∴S△PBQ=■PB·BQ=■·(6-x)·2x=x(6-x)即x(6-x)=8,x2-6x+8=0,(x-4)(x-2)=0

∴x1=4 x2=2

∴4秒或2秒后△PBQ的面积等于8cm2

引申新题:如图2,在直角坐标系中,四边形OBCD是矩形,C(6,12),点P从点O沿着x轴向点B以1cm/s的速度移动,同时,点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动。

求:(1)点B、D的坐标。

(2)几秒后,△PDQ是直角三角形?

(3)几秒后,△PDQ是等腰三角形?

(4)几秒后,△PDQ的面积最大,并求出Q的坐标和△PDQ的面积。

通过这一系列的问题引申,吸引学生积极地去思考,借以巩固知识,培养学生分析能力和学生讨论问题的的严谨性,提高学生数形结合思想的利用能力,使学生真正学会通过二次函数来求最值问题。endprint

四、变换例题结构,化零为整

针对课本上重要知识和学生掌握知识与技能的薄弱环节,就地取材,例题的教学宜求“变”、求“活”。利用交换题目的结构,通过变式练习,引导学生多角度、多方向、多层次地思考,扩大例题的辐射面,加深对基础知识的理解、掌握和变通,培养学生的发散思维能力。

例6:已知AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,切点是B,OC∥AD,求证:DC是⊙O的切线。

在讲解例题时,我们要对其进行深度的挖掘,注重例题的变化,加大知识的扩展与延伸。在上课的过程中,我对原题的题设和结论进行交换,改编为:

题1:已知AB是⊙O的直径,DC是⊙O的切线,切点是D,OC∥AD,求证:BC是⊙O的切线。

题2:已知,AD是⊙O的弦,DC是⊙O的切线,切点是D,OC∥AD,过C作⊙O的切线BC,切点是B,求证:AB是⊙O的直径。

对例题的变式,我们可通过改变条件和结论,图形变式,类比和拓展等多种途径,引导学生进行多角度的探讨,把一个题变成一类题,从而促成知识的迁移和延伸,达到使学生解一题,会一类的目的。

例7:(原例题)已知等腰三角形的腰长是4,底长为6,求周长。我们可以将此例题进行一题多变。

变式1:已知等腰三角形一腰长为4,周长为14,求底边长。(这是考查逆向思维能力)

变式2:已等腰三角形一边长为4;另一边长为6,求周长。(前两题相比,需要改变思维策略,进行分类讨论)

变式3:已知等腰三角形的一边长为3,另一边长为6,求周长。(显然“3”只能为“底”,否则与三角形两边之和大于第三边相矛盾,这有利于培养学生思维严密性)

变式4:已知等腰三角形的腰长为x,求底边长y的取值范围。

变式5:已知等腰三角形的腰长为x,底边长为y,周长是14。请先写出二者的函数关系式,再在平面直角坐标内画出二者的图象。(与前面相比,要求又提高了,特别是对条件0

通过例题的层层变式,学生对三边关系定理的认识又深了一步,有利于培养学生从特殊到一般、从具体到抽象地分析问题和解决问题的能力;通过例题解法多变的教学则有利于帮助学生形成发散思维,而又打破思维定势;有利于培养思维的变通性和灵活性。

波利亚说:“中学数学教学的首要任务是习题教学。教师要充分发挥例题教学的示范和引领作用,使之成为促进学生发展的有效途径。”通过例题教学不仅能培养学生数学学习能力和思维能力,而且能以点带面,提升学生的感性认识,帮助学生领悟数学思想方法,探寻并掌握学习的“捷径”,大大提高教与学的效率。

[参 考 文 献]

[1](美)乔治·波利亚著,刘景麟等译.数学的发现[M].北京:科学出版社,2009.

[2]王丽君.挖掘课本习题价值的实践[J].北京:中小学数学,2013(5).

(责任编辑:张华伟)

四、变换例题结构,化零为整

针对课本上重要知识和学生掌握知识与技能的薄弱环节,就地取材,例题的教学宜求“变”、求“活”。利用交换题目的结构,通过变式练习,引导学生多角度、多方向、多层次地思考,扩大例题的辐射面,加深对基础知识的理解、掌握和变通,培养学生的发散思维能力。

例6:已知AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,切点是B,OC∥AD,求证:DC是⊙O的切线。

在讲解例题时,我们要对其进行深度的挖掘,注重例题的变化,加大知识的扩展与延伸。在上课的过程中,我对原题的题设和结论进行交换,改编为:

题1:已知AB是⊙O的直径,DC是⊙O的切线,切点是D,OC∥AD,求证:BC是⊙O的切线。

题2:已知,AD是⊙O的弦,DC是⊙O的切线,切点是D,OC∥AD,过C作⊙O的切线BC,切点是B,求证:AB是⊙O的直径。

对例题的变式,我们可通过改变条件和结论,图形变式,类比和拓展等多种途径,引导学生进行多角度的探讨,把一个题变成一类题,从而促成知识的迁移和延伸,达到使学生解一题,会一类的目的。

例7:(原例题)已知等腰三角形的腰长是4,底长为6,求周长。我们可以将此例题进行一题多变。

变式1:已知等腰三角形一腰长为4,周长为14,求底边长。(这是考查逆向思维能力)

变式2:已等腰三角形一边长为4;另一边长为6,求周长。(前两题相比,需要改变思维策略,进行分类讨论)

变式3:已知等腰三角形的一边长为3,另一边长为6,求周长。(显然“3”只能为“底”,否则与三角形两边之和大于第三边相矛盾,这有利于培养学生思维严密性)

变式4:已知等腰三角形的腰长为x,求底边长y的取值范围。

变式5:已知等腰三角形的腰长为x,底边长为y,周长是14。请先写出二者的函数关系式,再在平面直角坐标内画出二者的图象。(与前面相比,要求又提高了,特别是对条件0

通过例题的层层变式,学生对三边关系定理的认识又深了一步,有利于培养学生从特殊到一般、从具体到抽象地分析问题和解决问题的能力;通过例题解法多变的教学则有利于帮助学生形成发散思维,而又打破思维定势;有利于培养思维的变通性和灵活性。

波利亚说:“中学数学教学的首要任务是习题教学。教师要充分发挥例题教学的示范和引领作用,使之成为促进学生发展的有效途径。”通过例题教学不仅能培养学生数学学习能力和思维能力,而且能以点带面,提升学生的感性认识,帮助学生领悟数学思想方法,探寻并掌握学习的“捷径”,大大提高教与学的效率。

[参 考 文 献]

[1](美)乔治·波利亚著,刘景麟等译.数学的发现[M].北京:科学出版社,2009.

[2]王丽君.挖掘课本习题价值的实践[J].北京:中小学数学,2013(5).

(责任编辑:张华伟)

四、变换例题结构,化零为整

针对课本上重要知识和学生掌握知识与技能的薄弱环节,就地取材,例题的教学宜求“变”、求“活”。利用交换题目的结构,通过变式练习,引导学生多角度、多方向、多层次地思考,扩大例题的辐射面,加深对基础知识的理解、掌握和变通,培养学生的发散思维能力。

例6:已知AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,切点是B,OC∥AD,求证:DC是⊙O的切线。

在讲解例题时,我们要对其进行深度的挖掘,注重例题的变化,加大知识的扩展与延伸。在上课的过程中,我对原题的题设和结论进行交换,改编为:

题1:已知AB是⊙O的直径,DC是⊙O的切线,切点是D,OC∥AD,求证:BC是⊙O的切线。

题2:已知,AD是⊙O的弦,DC是⊙O的切线,切点是D,OC∥AD,过C作⊙O的切线BC,切点是B,求证:AB是⊙O的直径。

对例题的变式,我们可通过改变条件和结论,图形变式,类比和拓展等多种途径,引导学生进行多角度的探讨,把一个题变成一类题,从而促成知识的迁移和延伸,达到使学生解一题,会一类的目的。

例7:(原例题)已知等腰三角形的腰长是4,底长为6,求周长。我们可以将此例题进行一题多变。

变式1:已知等腰三角形一腰长为4,周长为14,求底边长。(这是考查逆向思维能力)

变式2:已等腰三角形一边长为4;另一边长为6,求周长。(前两题相比,需要改变思维策略,进行分类讨论)

变式3:已知等腰三角形的一边长为3,另一边长为6,求周长。(显然“3”只能为“底”,否则与三角形两边之和大于第三边相矛盾,这有利于培养学生思维严密性)

变式4:已知等腰三角形的腰长为x,求底边长y的取值范围。

变式5:已知等腰三角形的腰长为x,底边长为y,周长是14。请先写出二者的函数关系式,再在平面直角坐标内画出二者的图象。(与前面相比,要求又提高了,特别是对条件0

通过例题的层层变式,学生对三边关系定理的认识又深了一步,有利于培养学生从特殊到一般、从具体到抽象地分析问题和解决问题的能力;通过例题解法多变的教学则有利于帮助学生形成发散思维,而又打破思维定势;有利于培养思维的变通性和灵活性。

波利亚说:“中学数学教学的首要任务是习题教学。教师要充分发挥例题教学的示范和引领作用,使之成为促进学生发展的有效途径。”通过例题教学不仅能培养学生数学学习能力和思维能力,而且能以点带面,提升学生的感性认识,帮助学生领悟数学思想方法,探寻并掌握学习的“捷径”,大大提高教与学的效率。

[参 考 文 献]

[1](美)乔治·波利亚著,刘景麟等译.数学的发现[M].北京:科学出版社,2009.

[2]王丽君.挖掘课本习题价值的实践[J].北京:中小学数学,2013(5).

(责任编辑:张华伟)

猜你喜欢
切点切线等腰三角
等腰三角形的对称性
《再看切线长》教学设计
利用隐函数导数求解圆锥曲线的切线及切点弦方程
过圆锥曲线上一点作切线的新方法
二次曲线的两条互垂切线的若干性质
椭圆的三类切点弦的包络
勾股定理、等腰三角形联手解中考题
圆锥曲线的切点弦定理及其应用
一个基本模型的运用