教师如何恰当地把握学生的错误

詹加林

[摘 要] 学生在数学练习中总会出现这样或那样的错误，而这些错误正是一个容易被忽略的重要资源. 教师到底应怎样对待学生在作业中出现的错误资源，并用好这一资源使我们的教学工作更为有效呢？笔者对此谈了自己的五点看法.

[关键词] 错误资源；教学工作；有效；处理

有数学教学经历的教师都会发现，无论怎样全身心地投入教学，学生在数学练习中总会出现这样或那样的错误. 对于学生出现的错误，我把它大致分为四类：个别错误、小范围的错误、带有普遍性的错误、反复出现的错误. 对于这些错误，如果不及时处理，日积月累，错误就会越积越多，部分学生就会出现知识链断裂，从而出现学习困难、两极分化的情况，即优者更优，差者更差，课堂教学也会变得越来越困难，从而形成恶性循环.

我们都是凡人，有谁不曾犯过错误？面对错误，有的人捶胸顿足，悔恨自己浪费时光与精力错失大好时机；有的人像扔掉一张废纸一样，将错误顺手一“扔”，看都不看一眼；只有那些独具慧眼的人，才能透过错误的表象发现蕴藏在其中的经验、教训乃至智慧，并因此终身受益……我们不怕出错，怕的是从错误中一无所获. 学生出错在所难免，关键是怎样正确对待和处理！所以我们每个教师在教学过程中发现学生的错误后，都应引起足够的重视，应认真对待、妥善处理，千万不能麻痹大意. 同时，从新的课程资源来看，学生的错误还可看做是不可多得的课程资源.

新课程标准要求教师主动开发和利用课程资源. 新的课程资源观所指的课程资源包括许多方面，不仅限于我们的教材、教学参考书. 另外，教师是重要的资源，学生是重要的资源，网络也是重要的资源，生活中处处都有课程资源. 这个课程资源观是发散的、开放的，所以教师的课程资源观一定要改变. 平时，很多教师总爱慨叹条件差、教学过程中缺少可用资源，其实，我们的教学过程中处处有资源，主要是我们没有树立新的课程资源观，没有努力地去思考、去发掘. 我认为，学生在课后作业中所出的错误就是一个被很多人忽略了的重要资源，如果能充分利用这一资源，我们的教学工作一定会变得更为有效.

那么，作为教师，到底应怎样对待学生在作业中出现的错误资源呢？可以从以下五个方面入手处理.

1. 教师首先要好好反思自己的教学过程，从自身找原因

教材的“重点”有没有准确把握？“难点”是否突破？教学方法是否得当，是否有利于学生积极参与到课堂教学？学生的积极性能否有效调动？学生在整个课堂教学过程中的参与程度如何？如果是教师自身的问题，那么，教师就要赶紧重新研究教材、研究学生，迅速调整和改进教学方法. 如果学生的错误是个别的，首先就要认真分析这个别学生出错的原因，是粗心大意，还是没听懂或知识没有落实？然后对症下药，单独予以辅导；必要时，应公布给全体学生，让其他同学引以为戒. 如果学生的错误比较普遍，甚至反复出现，我们就应认真考虑改变教学方法. 比如，笔者在教学两数和的平方公式（a+b）2时就发现学生反复出错：一个是正、负符号搞错，另一个是两个数乘积的2倍这一项总是写错. 仔细分析，我找到了原因：学生没有掌握公式的结构特征. 一开始，我用多项式相乘的方法来导入，（a+b）2表示两个（a+b）相乘，让学生通过（a+b）（a+b）=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2得出（a+b）2=a2+2ab+b2这个公式，然后让学生通过熟读与背诵记住它. 这样，学生虽然能理解这个公式的由来，但有许多同学仍然对它的结构特征把握不好，因此反复出错. 后来，我改用图形的方式进行推导，让学生通过数形结合来理解公式的特征：先画一个边长为a+b的正方形，然后问学生这个大正方形的面积怎样表示. 学生给出答案一：（a+b）2. 答案二：a2+ab+ab+b2，其中两个长方形的面积一样，可以表示成一个长方形面积的2倍，这样，便有了公式（a+b）2=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2，这样的教学过程使得公式的结构特征更易把握，教学效果比前面的好一些，但仍有部分学生无法掌握公式的结构特征. 经过不断地实践、探索，我再一次改进教学方法：这一次，我让学生更加充分地参与到公式的形成探索过程中. 课前，我让学生准备硬纸板，并剪出如图1所示的图形，即一个边长为a的正方形，一个边长为b的正方形，两个长为a、宽为b的长方形. 上课时，我让学生自己准备四个纸板先各自算出其面积，再自由拼出图形，思考自己所拼图形的总面积是多少. 学生通过小组讨论交流，明白了图形总面积是由四个小图形的面积组成的，即a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2. 拼出的图形中有正方形，这个正方形的面积还可以表示为边长的平方，即（a+b）2. 它们的面积关系怎样？学生很容易得出公式：（a+b）2=a2+2ab+b2. 这样，通过学生亲自动手拼出图形、互相讨论公式的形成过程，强化了数形结合的数学思想，同时让学生对公式的结构特征有了更加牢固的把握.

2. 教师一定要有足够的耐心来对待学生的错误，千万不能急躁，应耐心一点、宽容一点、诚恳一点、热情一点

如果教师觉得自己认认真真地备课、上课，且讲得很清楚了，但学生还是出现了错误，从而大肆责备学生上课不认真听讲，甚至骂学生脑子有问题，骂学生是笨蛋，这样不仅不能解决问题，反而会打击学生的积极性，造成学生因反感教师而厌恶数学的不良后果.

在我所教的学生中，有一个学生常因平时做作业时粗心大意而大错不犯、小错不断. 下面是从马小哈的数学作业本中摘抄的一道数学题及解答过程：已知A，B都是整式，且A=-3x2+5xy+6y2，B=4x2-5xy-2y2，化简A+B. 正确的结果应该为x2+4y2，而这个学生的结果却为 -7x2+10xy +8y2. 原来，他将“A+B”看成了“A-B”. 我并没有责备他，因为这个学生虽然做数学题大错不犯、小错不断，可每次犯了错误，在同学和教师的热心帮助下，都能及时改正. 更为重要的是，他还是学生的一面“镜子”，我多次对他作业中的错误进行剖析，让其他同学“有则改之，无则加勉”，而且，我还根据这位学生作业中的错误编拟了一些趣题供学生享用！如：endprint

小文做一道数学题：“……两个多项式A，B，B为-a2+3ab-0.5b2，试求A+B. ”小文误将A+B看成A-B，结果算出的答案为-0.5a2-ab+b2，试求A+B的正确答案.

3. 教师要及时分析学生出错的原因，及时予以纠正

趁热打铁，效果是立竿见影的；拖久了，就不利于学生落实知识了. 而学生的知识系统一旦出现了漏洞，后面的学习就会越来越困难；困难多了，学生就会逐渐失去学习的兴趣，慢慢变成“学困生”，很难有所进步. 从这个意义上说，不及时纠错，就是害了学生，是对学生的不负责任. 如学生在学习解含有分母的一元一次方程时，在去分母时常出现的错误有两种：（1）漏乘不含分母的项，如对方程 + =2- 去分母时，得到4（5x+4）+3（x-1）=2-（5x-5）；（2）去分母后，分子漏加括号，尤其是分母正好等于最小公倍数时，更易出现这种错误. 如对 + =2- 去分母后，得到4（5x+4）+3（x-1）=24-5x-5. 为了避免这种错误，或者说减少这种错误出现的概率，我建议去分母分三步走：

第一步，将方程左、右两边分别看做一个整体，然后用最小公倍数分别去乘方程的左、右两边；

第二步，对方程左、右两边分别利用乘法分配律；

第三步，将各分数的分母同所乘的最小公倍数约分，写成含有括号的形式.

如对 - = -1去分母.

第一步，12× - =12× -1；

第二步，12× -12× =12× -12×1；

第三步，4（2x-1）-2（10x+1）=3（2x+1）-12.

这样就不易出错了. 即使出错了，也容易找出错因. 当然，在我们熟练掌握去分母后，前两步可以省略，可直接写成含有括号的形式.

4. 教师在解决学生错误的时候，除了强调知识点，要求学生记住公式、定理，更要强调知识点的用法

教师要充分考虑学生的理解水平，不能以自己的认知水平去衡量学生；要考虑到不同层次学生的接受能力，因材施教. 只有这样，才能使学生真正掌握知识，而我们所提的知识点落实才能实现.

5. 教师在解决学生所出现的错误时，不能包办代替，要采用多种形式让学生积极参加与纠错

教师要做好引导工作，多用各种激励办法大力提高学生的积极性，让学生自己找出错在哪里、分析为什么会出现这样的错误、怎样才能避免错误，在此过程中建立成就感、愉悦感：（1）让学生自己纠错. 由学生检查作业，独立发现错误，自己分析出错的原因，找出解决的方法，然后加以改正. 这样有利于提高学生的独立思考能力和探索能力. （2）学生小组合作，互相交换检查作业，讨论问题，找出错误原因，纠正错误，并派出代表把检查结果告诉大家. 改正错误，落实知识，还能提高合作探究能力和交流能力. （3）教师与学生共同讨论分析. 把学生做错的题目写到黑板上，然后学生自由发言，教师及时评述引导，共同找出错误的原因，探索解决问题的方法. （4）教师预设错误，激发学生兴趣，达到防患于未然的目的.

实践证明，重视处理教学过程中学生出现的错误，对于教学大有裨益，表现在以下四个方面：

（1）有利于落实知识点. 通过对错误的分析、讨论，可以让学生了解知识的前后连贯性、系统性. 只有在不断出现的错误中不断修正、不断弥补、不断完善，才能使知识在学生头脑中形成没有裂缝的链条. 所以，重视纠错可以巩固已学知识，可以提高学生的知识水平.

（2）有利于提高学生探究、思考、合作、交流的能力.

在期末复习时，我让学生化简 + ，部分学生由于混淆整式的加减与一元一次方程，得出错误的解法如下：原式=3（x-1）+2（2-x）=3x-3+4-2x=x+1. 事后，我让学生认真总结整式的加减与一元一次方程的区别和联系，收获颇丰. 其中一位同学竟然得到了一种创新解法：设 + =a，去分母得3（x-1）+2（2-x）=6a. 去括号得3x-3+4-2x=6a，合并同类项得x+1=6a，所以a= ，即原式= . 对于这种解法，我大为感叹，如果不是经过深入剖析学生所犯的错误，是不可能得到这种创新、简捷、奇妙之解法的. 这也真真切切地让我感受到学生犯错误并不可怕，关键是如何正确引导学生，让学生避免下次再犯类似错误，而且应如何从学生所犯的错误中发现有用的东西，让错误变得有价值.

（3）有利于培养学生做作业时细心以及作业后认真检查的习惯.

（4）有利于教师改进教学方法. 教师在教学过程中针对学生所出的错误认真进行反思，不断总结，就能不断改进自己的教学方法，从而比较快速地提高教学能力，提高教学效果.

总之，在我们的教育教学过程中，课程资源无处不在，只要每一个教师在教学过程中都做一个有心人，不断反思、探索，学生的错误就可以成为我们教育教学过程中不可或缺的课程资源. 我们应用辩证的眼光看待学生的错误，挖掘错误的价值，使我们的教学工作更适合新课程改革的需要.endprint

小文做一道数学题：“……两个多项式A，B，B为-a2+3ab-0.5b2，试求A+B. ”小文误将A+B看成A-B，结果算出的答案为-0.5a2-ab+b2，试求A+B的正确答案.

3. 教师要及时分析学生出错的原因，及时予以纠正

趁热打铁，效果是立竿见影的；拖久了，就不利于学生落实知识了. 而学生的知识系统一旦出现了漏洞，后面的学习就会越来越困难；困难多了，学生就会逐渐失去学习的兴趣，慢慢变成“学困生”，很难有所进步. 从这个意义上说，不及时纠错，就是害了学生，是对学生的不负责任. 如学生在学习解含有分母的一元一次方程时，在去分母时常出现的错误有两种：（1）漏乘不含分母的项，如对方程 + =2- 去分母时，得到4（5x+4）+3（x-1）=2-（5x-5）；（2）去分母后，分子漏加括号，尤其是分母正好等于最小公倍数时，更易出现这种错误. 如对 + =2- 去分母后，得到4（5x+4）+3（x-1）=24-5x-5. 为了避免这种错误，或者说减少这种错误出现的概率，我建议去分母分三步走：

第一步，将方程左、右两边分别看做一个整体，然后用最小公倍数分别去乘方程的左、右两边；

第二步，对方程左、右两边分别利用乘法分配律；

第三步，将各分数的分母同所乘的最小公倍数约分，写成含有括号的形式.

如对 - = -1去分母.

第一步，12× - =12× -1；

第二步，12× -12× =12× -12×1；

第三步，4（2x-1）-2（10x+1）=3（2x+1）-12.

这样就不易出错了. 即使出错了，也容易找出错因. 当然，在我们熟练掌握去分母后，前两步可以省略，可直接写成含有括号的形式.

4. 教师在解决学生错误的时候，除了强调知识点，要求学生记住公式、定理，更要强调知识点的用法

教师要充分考虑学生的理解水平，不能以自己的认知水平去衡量学生；要考虑到不同层次学生的接受能力，因材施教. 只有这样，才能使学生真正掌握知识，而我们所提的知识点落实才能实现.

5. 教师在解决学生所出现的错误时，不能包办代替，要采用多种形式让学生积极参加与纠错

教师要做好引导工作，多用各种激励办法大力提高学生的积极性，让学生自己找出错在哪里、分析为什么会出现这样的错误、怎样才能避免错误，在此过程中建立成就感、愉悦感：（1）让学生自己纠错. 由学生检查作业，独立发现错误，自己分析出错的原因，找出解决的方法，然后加以改正. 这样有利于提高学生的独立思考能力和探索能力. （2）学生小组合作，互相交换检查作业，讨论问题，找出错误原因，纠正错误，并派出代表把检查结果告诉大家. 改正错误，落实知识，还能提高合作探究能力和交流能力. （3）教师与学生共同讨论分析. 把学生做错的题目写到黑板上，然后学生自由发言，教师及时评述引导，共同找出错误的原因，探索解决问题的方法. （4）教师预设错误，激发学生兴趣，达到防患于未然的目的.

实践证明，重视处理教学过程中学生出现的错误，对于教学大有裨益，表现在以下四个方面：

（1）有利于落实知识点. 通过对错误的分析、讨论，可以让学生了解知识的前后连贯性、系统性. 只有在不断出现的错误中不断修正、不断弥补、不断完善，才能使知识在学生头脑中形成没有裂缝的链条. 所以，重视纠错可以巩固已学知识，可以提高学生的知识水平.

（2）有利于提高学生探究、思考、合作、交流的能力.

在期末复习时，我让学生化简 + ，部分学生由于混淆整式的加减与一元一次方程，得出错误的解法如下：原式=3（x-1）+2（2-x）=3x-3+4-2x=x+1. 事后，我让学生认真总结整式的加减与一元一次方程的区别和联系，收获颇丰. 其中一位同学竟然得到了一种创新解法：设 + =a，去分母得3（x-1）+2（2-x）=6a. 去括号得3x-3+4-2x=6a，合并同类项得x+1=6a，所以a= ，即原式= . 对于这种解法，我大为感叹，如果不是经过深入剖析学生所犯的错误，是不可能得到这种创新、简捷、奇妙之解法的. 这也真真切切地让我感受到学生犯错误并不可怕，关键是如何正确引导学生，让学生避免下次再犯类似错误，而且应如何从学生所犯的错误中发现有用的东西，让错误变得有价值.

（3）有利于培养学生做作业时细心以及作业后认真检查的习惯.

（4）有利于教师改进教学方法. 教师在教学过程中针对学生所出的错误认真进行反思，不断总结，就能不断改进自己的教学方法，从而比较快速地提高教学能力，提高教学效果.

总之，在我们的教育教学过程中，课程资源无处不在，只要每一个教师在教学过程中都做一个有心人，不断反思、探索，学生的错误就可以成为我们教育教学过程中不可或缺的课程资源. 我们应用辩证的眼光看待学生的错误，挖掘错误的价值，使我们的教学工作更适合新课程改革的需要.endprint

小文做一道数学题：“……两个多项式A，B，B为-a2+3ab-0.5b2，试求A+B. ”小文误将A+B看成A-B，结果算出的答案为-0.5a2-ab+b2，试求A+B的正确答案.

3. 教师要及时分析学生出错的原因，及时予以纠正

趁热打铁，效果是立竿见影的；拖久了，就不利于学生落实知识了. 而学生的知识系统一旦出现了漏洞，后面的学习就会越来越困难；困难多了，学生就会逐渐失去学习的兴趣，慢慢变成“学困生”，很难有所进步. 从这个意义上说，不及时纠错，就是害了学生，是对学生的不负责任. 如学生在学习解含有分母的一元一次方程时，在去分母时常出现的错误有两种：（1）漏乘不含分母的项，如对方程 + =2- 去分母时，得到4（5x+4）+3（x-1）=2-（5x-5）；（2）去分母后，分子漏加括号，尤其是分母正好等于最小公倍数时，更易出现这种错误. 如对 + =2- 去分母后，得到4（5x+4）+3（x-1）=24-5x-5. 为了避免这种错误，或者说减少这种错误出现的概率，我建议去分母分三步走：

第一步，将方程左、右两边分别看做一个整体，然后用最小公倍数分别去乘方程的左、右两边；

第二步，对方程左、右两边分别利用乘法分配律；

第三步，将各分数的分母同所乘的最小公倍数约分，写成含有括号的形式.

如对 - = -1去分母.

第一步，12× - =12× -1；

第二步，12× -12× =12× -12×1；

第三步，4（2x-1）-2（10x+1）=3（2x+1）-12.

这样就不易出错了. 即使出错了，也容易找出错因. 当然，在我们熟练掌握去分母后，前两步可以省略，可直接写成含有括号的形式.

4. 教师在解决学生错误的时候，除了强调知识点，要求学生记住公式、定理，更要强调知识点的用法

教师要充分考虑学生的理解水平，不能以自己的认知水平去衡量学生；要考虑到不同层次学生的接受能力，因材施教. 只有这样，才能使学生真正掌握知识，而我们所提的知识点落实才能实现.

5. 教师在解决学生所出现的错误时，不能包办代替，要采用多种形式让学生积极参加与纠错

教师要做好引导工作，多用各种激励办法大力提高学生的积极性，让学生自己找出错在哪里、分析为什么会出现这样的错误、怎样才能避免错误，在此过程中建立成就感、愉悦感：（1）让学生自己纠错. 由学生检查作业，独立发现错误，自己分析出错的原因，找出解决的方法，然后加以改正. 这样有利于提高学生的独立思考能力和探索能力. （2）学生小组合作，互相交换检查作业，讨论问题，找出错误原因，纠正错误，并派出代表把检查结果告诉大家. 改正错误，落实知识，还能提高合作探究能力和交流能力. （3）教师与学生共同讨论分析. 把学生做错的题目写到黑板上，然后学生自由发言，教师及时评述引导，共同找出错误的原因，探索解决问题的方法. （4）教师预设错误，激发学生兴趣，达到防患于未然的目的.

实践证明，重视处理教学过程中学生出现的错误，对于教学大有裨益，表现在以下四个方面：

（1）有利于落实知识点. 通过对错误的分析、讨论，可以让学生了解知识的前后连贯性、系统性. 只有在不断出现的错误中不断修正、不断弥补、不断完善，才能使知识在学生头脑中形成没有裂缝的链条. 所以，重视纠错可以巩固已学知识，可以提高学生的知识水平.

（2）有利于提高学生探究、思考、合作、交流的能力.

在期末复习时，我让学生化简 + ，部分学生由于混淆整式的加减与一元一次方程，得出错误的解法如下：原式=3（x-1）+2（2-x）=3x-3+4-2x=x+1. 事后，我让学生认真总结整式的加减与一元一次方程的区别和联系，收获颇丰. 其中一位同学竟然得到了一种创新解法：设 + =a，去分母得3（x-1）+2（2-x）=6a. 去括号得3x-3+4-2x=6a，合并同类项得x+1=6a，所以a= ，即原式= . 对于这种解法，我大为感叹，如果不是经过深入剖析学生所犯的错误，是不可能得到这种创新、简捷、奇妙之解法的. 这也真真切切地让我感受到学生犯错误并不可怕，关键是如何正确引导学生，让学生避免下次再犯类似错误，而且应如何从学生所犯的错误中发现有用的东西，让错误变得有价值.

（3）有利于培养学生做作业时细心以及作业后认真检查的习惯.

（4）有利于教师改进教学方法. 教师在教学过程中针对学生所出的错误认真进行反思，不断总结，就能不断改进自己的教学方法，从而比较快速地提高教学能力，提高教学效果.

总之，在我们的教育教学过程中，课程资源无处不在，只要每一个教师在教学过程中都做一个有心人，不断反思、探索，学生的错误就可以成为我们教育教学过程中不可或缺的课程资源. 我们应用辩证的眼光看待学生的错误，挖掘错误的价值，使我们的教学工作更适合新课程改革的需要.endprint