汪云峰,王丹丹,刘建波
(东北大学秦皇岛分校 数学与统计学院,河北 秦皇岛 066004)
关于Young不等式的几点推广
汪云峰,王丹丹,刘建波
(东北大学秦皇岛分校 数学与统计学院,河北 秦皇岛 066004)
对Young不等式的成立条件做了一些变化而形成了一些新的不等式,给出了Young不等式的多维形式,并且推广了Young不等式的成立范围,并给出了多种证明。
Young不等式;Jensen不等式;数学归纳法
Young不等式是一类非常重要的基本不等式,由Young不等式可以推导出许多有用的不等式,比如Holder不等式,Minkowski不等式,Cauchy不等式。在不同的文献资料中,Young不等式有多种不同的表现形式,[1]、[3]是以积分的形式给出的,本文的描述方法则与[2]中的说法相一致,在不同的学科里Young不等式的表现形式也有所差异。
设p>1,q>1且
对任意的a,b>0,
成立,且等号成立的充分必要条件是pqa=b。
对Young不等式的条件加以改变,有以下几种推广方式[7,8]:
1)当p<1且p≠0时,讨论不等号的变化。
2)扩展维数。即设
的大小关系。
3)当
时,讨论不等式的变化。
下面对这三种推广做具体的讨论证明。在展开具体的讨论之前,给出如下的一个引理。
引理当x>0,α-β=1时,有
引理1的内容与Bernoulli不等式等价,为了论述的方便,我们将其作为引理。
定理1设p<1,p≠0且
对任意的a,b>0
成立,且等号成立的充分必要条件是pqa=b。
证法一。根据引理,取α=p,得到:
又p<1,p≠0,所以当等号成立时当且仅当x=1,也就是ab=bq,进一步可以推导得ap=bq。
故所证结论成立,证毕。
证法二。设f( x)在[c, d]上是严格单调非负递减函数,对[c, d]进行n等分,使得c=x0<x1<…<xn=d ,由于f( x)在[c, d]上是严格单调递减函数,所以根据Riemann可积的定义,有:
所以有
特别的,
1)若将f( x)定义在[0,a]即取c=0,d=a则,
2)若将f( x)定义在(0,∞)上,并且假定:
f-1(x)为f( x)的反函数,广义积分
收敛,则存在ε>0,使得当x∈(0,ε)时,f( x)>0,从而
又由广义积分(1)收敛,可以推出
由夹逼性准则得到
所以,对于∀ε∈(0,a),
1)当f( b)>a>0时,
综上,可以得到
特别地,取f( x)=xq-1(q<1,q≠0),对于∀a,b>0,p<1,p≠0,且
则
故所证结论成立,证毕。
定理2设p1,p2,…,pn>1,a1, a2, …, an>0,且
则
证法一[5]。
1)由引理可以得:当α≤1时,
即得
化简后得到
根据式(2),可以得:
化简得
同理,可以得:
以此类推,将n个不等式相加后得:
时,以下不等式成立
则
综上所述,不等式
成立,其中ak>0,pk>1,(1≤k≤n) 且
故所证结论成立,证毕。
证法二。利用数学归纳法进行证明[4,6]。
当k=2时,由Young不等式可知结论成立。假设对k=n-1时结论成立,现证明对k=n时也成立。
令
则
由归纳法
由以上两式可得:
所以对k=n时不等式也成立。综上,不等式:
成立,其中p1,p2,…,pn>1,
且a1,a2,…,an>0。
证法三。利用Jensen不等式可以直接推出结论。
根据凸函数的Jensen不等式,设f( x)为任意凸函数,bi>0且
则
成立。取f( x)=lnx (x >0),显然f( x)为凸函数。所以
成立,其中
所以
可得
由f( x)=lnx (x >0)的单调性可得
综上,不等式:
成立,其中p1,p2,…,pn>1,
且a1,a2,…,an>0。
以上两个定理在相关文献中已经有一些结论出现,并且也有类似的证明过程,接下来定理3及其推论将给出Young不等式更一般的推广。
定理3 设p>1,q>1
对任意的a,b>0,
成立,当且仅当r∈(0,1],且等号成立的充分必要条件是ap=bq,p+q=pq。
证明由引理,当α≥1时,xα≥αx -β,令
代入得
化简得
又有
代入得
化简得
等号成立时当且仅当x=1,r=1也就是ab=bq,p+q=pq,亦即ap=bq,p+q=pq。
证毕。特别地,可以得到推论1及推论2。
推论1设p>1,q>1,
对任意的a,b>0,
成立,且等号成立的充分必要条件是pqa=b,p+q=pq。
推论2设p>1,q>1,
对任意的a,b>0,
成立,且等号成立的充分必要条件是pqa=b。
[1] 常庚哲,史济怀.数学分析教程(第3版)[M].中国科学技术大学出版社,2012:305-306.
[2] 匡继昌.常用不等式(第四版)[M].山东科学技术出版社, 2012:295.
[3] 胡克.解析不等式的若干问题[M].武汉大学出版社, 2007:13-14.
[4] G H Hardy, J E Littlewood, G Polya.越民义,译.不等式[M].科学出版社,1965:38-40.
[5] 胡克.论一个不等式及其若干应用[J].中国科学,1981, 31(2):141-148.
[6] 楼宇同.Young不等式,Holder不等式与Minkowski不等式的新证法[J].南京航空学院学报,1990,22(4):128-133.
[7] 曾书庆.Young不等式的若干推广[J].吉安师专学报(自然科学),1994,14(6):25-28.
[8] 匡继昌.一般不等式研究在中国的新进展[J].北京联合大学学报(自然科学版),2005,18(1):29-36.
(责任编辑、校对:赵光峰)
On the Generalizations for Young Inequality
WANG Yun-feng, WANG Dan-dan, LIU Jian-bo
(School of Mathematics and Statistics, Northeastern University at Qinhuangdao, Qinhuangdao 066004, China)
Some changes are made on the condition of Young inequality’s establishment to form a new inequality. The form of the multidimensional Young inequality is given. And the range of the condition of Young inequality’s establishment is generalized. A variety of proofs are put forward.
Young inequality; Jensen inequality; induction
O178
A
1009-9115(2014)02-0021-04
10.3969/j.issn.1009-9115.2014.02.006
2013-10-10
汪云峰(1992-),男,安徽安庆人,本科生,研究方向为不等式。
刘建波(1978-),男,河北遵化人,博士,副教授,东北大学硕士研究生导师。