关于Diophantine方程x3-1=3py2

万 飞，杜先存

（红河学院 教师教育学院，云南 蒙自 661199）

关于Diophantine方程x3-1=3py2

万 飞，杜先存

（红河学院 教师教育学院，云南 蒙自 661199）

设p是6k+1型的奇素数，探讨了Diophantine方程x3-1=3py2的正整数解的情况。运用Pell方程px2-3y2=1的最小解、同余式、平方剩余、勒让德符号等初等方法证明了两个结论。

Diophantine方程；奇素数；最小解；正整数解；勒让德符号

方程

x3±1=Dy2(D是无平方因子的正整数)

是一类重要的Diophantine方程，其整数解已有不少人研究过。1981年，柯召和孙琦[1]证明了当D不含3或6k+1型的素因子时，方程

无整数解，但当D含6k+1型的素因子时，方程的求解较为困难。2010年，段明辉[2]给出了方程

的全部整数解。2012年，杜先存等[3]给出了D为

型的奇素数时，方程

无正整数解的两个充分条件。同年，杜先存等[4]给出了方程

无正整数解的三个充分条件。2013年，杜先存等[5]给出了方程

无正整数解的两个充分条件。黄寿生[6]则于2007年证明了p为

型素数时，方程

无正整数解。

本文讨论p为6k+1型素因数时，Diophantine方程

的解的情况。

1 若干引理

引理1[7]设p是奇素数，则方程组

无非零整数解。

引理2[4]若p =3n(n+1)+1(n∈N)，则

的最小解为(2,2n+1)。

引理3[8]设a＞1,(a,b)∈N2,ab不是完全平方数，如果ax2-by2=1有解(x,y)∈N2,设是方程ax2-by2=1(x,y∈Z)的基本解，则ax2-by2=1的任一组解可以表示为：

2 主要定理

定理1设奇素数p=3n(n +1)+1(n∈N)，若存在形如24k-1，24k-5，24k-7，24k-11型的素数q使得，则Diophantine方程

无正整数解。

定理2设奇素数

则Diophantine方程

无正整数解。

3 定理证明

3.1 定理1证明

证明设(x,y)是方程(2)的正整数解，由费马小定理可知x3≡x(mod3)，故有x3-1≡x-1≡0(mod3)，此时x2+x+1≡0(mod3)。故

又x-1≡0(mod3)，则有9/|(x2+x+1)，故(2)可分解为以下两种情形：

由引理1知，情形（I）无正整数解。

对于情形（II），消去x并整理得

则(2v,6u2+1)是方程(1)的一组解。因为

故由引理2，得(2,2n+1)是方程(1)的最小解。

由引理3知，从(3)可得：

由(4)可得6u2+1≡0(mod(2n +1))，因为所以6u2+1≡0(modq)，因此6u2≡-1(modq)，(6u)2≡-6(modq)，故模q的勒让德符号

又由题意知，q≡-1, -5, -7, -11(mod24)，故模q的勒让德符号

矛盾。由此可知，情形（II）不成立。

综上，方程(2)在题设条件下无正整数解。

3.2 定理2证明

证明：由定理1的证明可知，由(4)可得

6u2+1≡0(mod(2n +1))。

又因为n≡1(mod3)，故2n+1≡0(mod3)，即所以

6u2+1≡0(mod3)，

这不可能。由此可知，式(4)不成立。

综上，方程(2)在题设条件下无正整数解。

[1] 柯召,孙琦.关于丢番图方程x3±1=Dy2[J].中国科学, 1981,24(12):1453-1457.

[2] 段明辉.关于丢番图方程x3+1=57y2[J].重庆师范大学学报,2010,27(3):41-43.

[3] 杜先存,李玉龙,赵金娥.关于不定方程x3-1=Dy2[J].四川理工学院学报,2012,25(4):79-80.

[4] 杜先存,史家银,赵金娥.关于不定方程x3-1=py2[J].西南民族大学学报(自然科学版),2012,38(5):748-751.

[5] 杜先存,赵东晋,赵金娥.关于不定方程x3±1=2py2[J].曲阜师范大学学报(自然科学版),2013,39(1):42-43.

[6] 黄寿生.关于指数Diophantine方程x3-1=2py2[J].数学研究与评论,2007,27(3):664-666.

[7] 张同斌,潘家宇.关于丢番图方程x±1=,x2∓x ±1=[J].河南教育学院学报(自然科学版),1999,8(3): 1-3.

[8] 夏圣亭.不定方程浅说[M].天津:天津人民出版社, 1980: 97-98.

（责任编辑、校对：赵光峰）

On the Diophantine Equation x3-1=3py2

WAN Fei, DU Xian-cun
(Teachers’ Educational College, Honghe University, Mengzi 661199, China)

The positive integer solutions of the Diophantine equationx3-1=3py2are studied on condition thatpis an odd prime of the form6k+1. By using the elementary method of the minimal solution of the Pell equationpx2-3y2=1, congruent formula, quadratic residue and Legendre symbol, two related conclusions are proved.

Diophantine equation; odd prime; minimal solution; positive integer solution; Legendre symbol

O156.1

A

1009-9115(2014)02-0014-02

10.3969/j.issn.1009-9115.2014.02.003

云南省教育厅科研基金（2012C199），江苏省教育科学“十二五”规划课题项目（D201301083）

2013-03-24

万飞（1969-），女，云南建水人，副教授，研究方向为数学教育及初等数论。