关于不定方程

管训贵

（泰州学院 数理信息学院，江苏 泰州 225300）

管训贵

（泰州学院 数理信息学院，江苏 泰州 225300）

讨论了不定方程

不定方程；解数；真因数；解序列

1 引言及主要结论

二十多年来，不定方程

的正整数解{x1,x2,…,xk}的确定已成为数论及其相关领域的一个引人关注的问题。

1985年，孙琦和曹珍富[1]给出了方程(1)的解数A(k)的下界，并指出(1)的解在计算机的模记数法中的应用。对于3≤k≤5，方程(1)的正整数解容易求出，即

1986年，孙琦和曹珍富[2]又证明了A(6)=17：

1997年，吴薇[3]证明了(7)=27 A，并给出了其全部正整数解。本文运用方程

解的若干性质，证明了

定理396≤A(8)＜2.006×1029。

并给出396组正整数解。这一结果也支持了孙琦[4]提出的如下猜想：

k≥7时，A(k +1)＞A(k )。

首先我们注意到，若xi是方程(1)的解，则有xi≠1，且i≠j时，gcd(xi,xj)=1。事实上，由(2)可得整理后可得(6)。

引理4方程(5)共有9组正整数解：

根据(3)式，gcd(xi, xj) | 1，且(2)式显然不能有xi=1的解。故不失一般性，我们可假定1＜x1＜x2＜…＜x8，gcd(xi,xj)=1，i≠j。

2 若干引理

引理1若u1,u2,…,u7是方程

的正整数解，则u1,u2,…,u7,u1u2…u7-1是(2)的一组正整数解。

证明直接验证可得。

引理2方程(4)共有26组正整数解：

证明参见文献[5]。

引理3若u1,u2,…,u6是方程

的正整数解，则u1,u2,…,u6,x7,x8是(2)的一组正整数解，其中

证明易知，

证明参见文献[6]。

引理5设1＜x1＜…＜xr（r＜7）满足条件

如果存在正整数xr+1，…，x8，xr＜xr+1＜…＜x8使得{x1,x2,…,xr,xr+1,…,x8}是方程(2)的一组正整数解，则

证明由

证毕。

引理6设x1,x2,…,x6是正整数，满足

则当且仅当

存在因数F使得

i=1

时，{x1,x2,…,x6,x7,x8}是方程（2）的正整数解，其中

证明参见文献[3]。

3 定理的证明

由引理1、引理2易求出方程(2)的26组正整数解：

若x1=3，则方程(2)无正整数解。限于篇幅，将另文讨论。

因此，A(8)＜2.006×1029。

综上，定理得证。

4 结语

从理论上讲，重复运用引理5、引理6，再利用微机可得到方程(2)的全部正整数解。事实上，x1=2时，2＜x2＜14，x2只可能取3，5，7，9，11，13。

若x1=2，x2=3，则6＜x3＜36，x3只可能取7，11，13，17，19，23，25，29，31，35。

若x1=2，x2=3，x3=7，则42＜x4＜210，x4只可能取43，47，…，205，209。

若x1=2，x2=3，x3=7，x4=43，则1806＜x5＜7224，x5只可能取1807，1811，…，7223。

若x1=2，x2=3，x3=7，x4=43，x5=1807，则3263442＜x6＜9790326，x6只可能取3263443，3263447，…，9790325。

若x1=2，x2=3，x3=7，x4=43，x5=1807，x6=3263443，则

此时可得方程(2)的256组正整数解。

若x1=2，x2=3，x3=7，x4=43，x5=1807，x6=3263447，则

此时可得方程(2)的1组正整数解。

若x1=2，x2=3，x3=7，x4=43，x5=1807，x6=9790325，则

但x7,x8均不为整数，故此时方程(2)没有x6=9790325的正整数解。

尽管理论上能通过上述方法找出方程(2)的全部正整数解，但实际操作较为困难，能否找到一个最优的算法，以便快速地求出方程(2)的全部正整数解，需要我们进一步去研究。

[2] 孙琦.数论进入了应用学科[J].数学研究与评论,1986, 6(4):149-154.

[4] Sun Qi. Some unsolved problems in the diophantine equations[J]. SEA Bull Math, 1(1991): 65-69.

[6] 柯召,孙琦.关于单位分数表1的问题[J].四川大学学报(自然科学版),1964(1):13-29.

（责任编辑、校对：赵光峰）

On the Indeterminate Equation

GUAN Xun-gui
(School of Mathematics, Physics & Information Science, Taizhou Normal University, Taizhou 225300, China)

indeterminate equation; true factor; solution sequence

O156

A

1009-9115(2014)02-0007-07

10.3969/j.issn.1009-9115.2014.02.002

江苏省教育科学“十二五”规划课题资助项目（D201301083）

2013-10-01

管训贵（1963-），男，江苏兴化人，副教授，研究方向为数论。

给出了该方程解序列的递归性和求解的一个充要条件，同时得到了方程的部分正整数解。