高中数学与指数函数有关的问题

高美

指数函数作为基本函数，一直是近几年高考的重点和热点，也是新课标考查的重要方面。主要题型有：指数函数的图像和性质、幂值的比较大小、由指数函数复合而成的综合问题。本文通过一些例题的讲解，得到较系统的指数函数知识，以加深对指数函数的认识。

一、指数函数的概念

问题1：在定义中为什么规定a>0且a≠1？

分析：若a=1，则y=1，它是一个常函数；若a=0，只有x>0有意义，且y=ax=0 也是常函数，无研究的意义；若 a<0，当分数指数幂的分母是偶数时无意义，例如（-2）■是没有意义的。

例1：若函数y=（2a2-3a+2）ax是指数函数，求f（2）。【解】2a2-3a+2=1？圯a=1或■，但 a=1不合定义，舍去，∴ a=■？圯f（2）=（■）2=■.

二、比较大小问题

问题2：底数对指数函数图像有什么影响？

例2：如图是指数函数①y=ax、②y=bx、③y=cx、④y=dx的图像，则a、b、c、d与1的大小关系是（ ）：A.a

c、C.1d1>a1>b1，故c>d>a>b，故答案选B.

三、指数函数与二次函数复合求值域

例3：求函数y=（■）x-（■）x+1，X？缀[-3，2]的值域。 【解析】令 （■）x=t，则y=t2-t+1，∵X？缀[-3，2]，∴■= （■）2？荞（■）x？荞（■）-3=8，即t？缀[■，8]，∴y=（t-■）2 +■？缀[■，57]. 总结：此类问题是指数函数和二次函数复合形式，把表面是指数函数形式的利用换元思想转化为二次函数求值域。在做题时要注意指数函数的值域，即二次函数的自变量的范围，从而利用配方法求出其值域。

四、指数函数复合形式的单调性

例4：求函数y=2■的单调区间。 【解析】令x2+x=t，则y=2t，在R上为增函数，要求y的单调递增区间就是t的单调递增区间，即[-■，+∞]；y的单调递减区间就是t的单调递减区间，即[-∞，-■]. 总结：此类问题属于复合函数单调性的问题，解决这类问题把握四个字：“同增异减”。所以，首先要看清楚复合的两个简单函数，一般有一个的单调性是已知的。此问题解决的关键是转化为另一类简单函数的单调性，但要注意的是，在解题前要先求复合函数的定义域。

由此可见，对于一般的指数函数中有关定义域、值域以及单调性问题，我们能够比较熟练地解决。但往往指数函数不是单独出现的，它总是和其他函数同时出现，特别是二次函数。在这里，我强调一点：做任何题，不管是简单的还是复杂的，关键是抓住其基本性质，尽量把问题转化到我们熟悉的情况下进行解决。