例谈小学数学的习题教学

伏芸芸

习题是小学数学教材的重要组成部分，是学生进行有效学习的重要载体，教材中每一道习题的编排既有知识应用与技能形成的功能，也有为学生积累基本的活动经验，明晰数学基本思想，锻炼思维的价值。在实践中，一般教师比较重视教材中范例的教学，但不屑于对教材习题进行研究，有时仅仅把教材的习题作为作业布置给学生，缺少对习题的挖掘以及教学过程的整合，使得习题功能弱化，教材意图不能凸显。

课程标准提出教师要挖掘好习题背后隐藏的思维内涵，在课堂教学中正确把握好数学知识的深度、广度、梯度，合理利用教材中相关基础习题进行必要的“还原”，优化教材，丰富教学资源。

一、深究习题，展示思维

深究习题就是教师在分析学生现有知识经验的基础上，通过引导使学生对知识有更进一步的理解，对问题的思考更深刻。维果茨基的“最近发展区”理论告诉我们，学生在现有认知水平和教师引导下可能达到的水平之间有一个区域，这就是“最近发展区”。教学就要作用于学生的“最近发展区”，从而促进学生发展。

【案例1】四年级教材上有这样一题：在得数相同的两个算式后面画“√”。

（1）（28+16）×7 28×7+16×7 □

（2）15×39+45×39 （15+45）×39 □

（3）74×（20+1） 74×20+74 □

（4）40×50+50×90 40×（50+90） □

学生答题后，教师指着第（4）题引导学生交流。

师：这题是左边算式的结果大，还是右边算式的结果大？你是怎样看出来的？

生1：左边等于2000+4500=6500，右边等于40×140=5600，所以左边算式结果大。

生2：40×50+50×90=50×（40+90）=50×130=6500，40×（50+90）=40×140=5600，所以左边算式的结果大。

生3：40×（50+90）=40×50+40×90，和左边的算式比较，都有40×50，而40×90比50×90小，所以左边算式的结果比右边大。

上述处理使习题中内在的思维价值充分外显，学生对乘法分配率的掌握得以深化，不再是为了解题而解题，而是通过让学生独立思考、自主探索、合作交流、猜测验证等来提高学生的数学思维水平及问题解决的能力，学生在解题过程中获得了成功的体验，数学能力得到了发展。

【案例2】六年级教材中的一题：

■

分数 分数 分数

小数 小数 小数

一位教师是这样教学的。

第一层次：让学生用分数和小数表示阴影部分。这是对素材中基本要求的达成。

第二层次：让学生用分数和小数表示空白部分。这是对素材进一步的开发，也是辩证统一思想的渗透。

第三层次：教师出示另一个空白图形和0.3、0.35、0.012三个数，让学生在空白图形中分别表示出这三个数。这是对学生逆向思考能力的培养。

第四层次：教师继续提供空白图形，让学生自主涂色，并用分数和小数表示阴影和空白部分。这是创造和提升。

在这个教学片断中教师顺着学生的思维特点，由浅入深对同一个素材进行了充分的挖掘和深究，从不同的角度来审视素材的内蕴，使课堂变得简约却富有意蕴。

二、拆分习题，点拨思维

教材习题是对教学内容的巩固和发展。教师要领会教材意图，优化使用教材习题，放大习题资源功能，在新课程理念的引领下，将习题教学演绎得更加精彩。教材习题的呈现方式是多样的，有的可以直接呈现，有的可以逐步呈现，有的需要设计一定的情境呈现，要根据教学的需要灵活选择呈现的方式，使习题功能增值。

【案例3】有这么一节“百分数的认识”的公开课，让人听后不由得为教者对教材的教学资源的充分挖掘与利用赞叹。

第一层次出示图1，让学生用三种数表示出阴影部分的面积。

■

图1 图2

分数 小数 百分数

师：你想先填哪一个？（让学生根据自己喜好任选一种数先填）能把这三类数进行互化吗？

（师先示范一个，学生自己开始填其余两种数）

第二层次：用这样的三种数你能表示出空白部分的面积吗？

学生试一试，相互选一题说一说是如何想的。

教师选一题让学生汇报。

第三层次：（电脑出示图2）按要求在图2中用阴影分别表示出0.4，■，0.012。

师：如何在图2中把0.4表示出来？

生：先把0.4化为■。（学生试做）

师：■可以直接表示吗？

师：0.012化为百分数是多少？化为多少便于表示，可以试着涂一涂。

第四层次：（电脑出示空白图）

师：用自己喜欢的方式，自主在图形中涂色，并说说小数、分数、百分数该如何表示。

综观教者对习题四个层次的设计，层层推进，思维逐步深入，提升与发展了学生的综合能力。教师对书本习题资源进行挖掘与利用的处理方式，使得习题的内涵更加丰富，教学不再停留在就题讲题的层面上，有利于学生加深对问题的认识，点拨了学生的思维，拓展了学生的认知结构，形成了一定的解题策略。

教学要以教材中的习题为依据，但又不拘泥于教材习题，教学中习题呈现方式的改变给学生提供了更多实践、探索的空间，从而达到激活课堂、点化思维的教学目的。

【案例4】教学“7的乘法口诀”一节，教材上有一道习题设计了“每排七罐奶粉，共有六排，问一共有多少罐奶粉”的问题情境，教学时教师除了让学生在解决问题中进一步熟练7的乘法口诀，同时还有意培养学生的估算意识，激活思维。（下图中用○表示一个牛奶罐）endprint

■

出示图3，请学生估计出这个盒子里可以放多少牛奶罐。在学生猜的基础上给出图4进行提示，多数学生的估计比较接近于答案。这时出示图5，学生都能说出得到正确答案的原因。教师通过图示，为学生估计、判断提供了支点，让学生感悟到估计时所考虑的相关因素越多，结果越准确。这一经历，学生对“估”的认识不仅仅停留在“猜”的经验上，而是提升了学生的思维，使估算有理。事实证明，灵活拆分、组合、调整习题的内容，能较好地实现教材编写者的意图，切实体现了新课程的理念。

三、延伸习题，引深思维

教材中的习题是编者根据大部分学生的水平设计的，因此不可能面面俱到，不可能完全照顾到每个学生的实际情况。课程标准倡导：不同的人在数学上得到不同的发展。因此，教师要尽可能拓展习题的功能，既要巩固基础又能培养能力，使每个层次的学生都能有所发展。

【案例5】四年级上册教材第97页“想想做做”第5题是这样的：□中可以填哪些数？

9□875≈10万 39□0000000≈39亿

在学生获得准确结果后，教师提出：老师也想了一个整数，它四舍五入到万位后也是10万，这个数最大可能是多少？最小可能是多少呢？

学生迅速思考、动笔尝试。

生1：这个数最大是99999，最小是95000。

生2：不对，最大应该是104000。

师：你是怎样想的？

生2：要想原来这个数最大，显然不能五入得到10万，而应四舍得到10万。所以，原数千位上应该是4，这个数最大是104000。

生3：我觉得还可以更大，应该是104999。因为千位上是“4”后，百位、十位和个位上的数不会影响结果。

生4：我也觉得是104999，因为如果再比它大1，那就成105000了，而这个数四舍五入到万位是11万，不符合题目要求。

尽管原题已经具备了一定的开放性，但这种开放性更多的是建立在尝试、归纳的基础上，思维含量并不丰富。而延伸后的习题，无论从其答案的开放性，还是其思维容量上来看，都有了更多的超越，在培养学生思维的缜密、有序、合理性等方面，都是原题所无法比拟的。

【案例6】四年级上册第101页有这样一道习题：先用计算器算出前四题的得数，再直接填出后两题横线上的数。

1×1=

11×11=

111×111=

1111×1111=

× =

一位教师在教学中，对习题进行了改编与延伸。

师：既然同学们都会用计算器进行计算了，下面就请大家拿出计算器，试着算出下面这道题的结果。

111111111×111111111=

很快，学生通过操作纷纷发现这道题的“问题所在”。

生1：我的计算器只能显示8位，9个1显示不了。

生2：我的计算器只能显示10位，但计算结果显示不出来，大概是数位不够吧。

师：看来，计算器也不是万能的。我们是否能想点法子进行研究呢？

生3：我们可以从11×11算起。

师：那你们就研究吧！

（学生在边研究边讨论）

生4：11×11=121，111×111=12321，1111×1111=1234321。

生5：我知道了，这题的结果为12345678987654321。

师：说说你的想法。

（学生交流了自己发现的规律）

在这个教学中教师不是让学生按部就班地去“发现”规律，而是先引出认知冲突，激发学生进行自主思考，并让学生在教师的引导下自觉建构模型，并最终利用模型解决相关问题。这种教学方式给了我们丰富的启示，值得我们深思、借鉴。

四、拓展习题，发散思维

数学是思维的体操，数学思维在数学学习中具有重要的作用。教师应将思维训练贯穿于整个教学过程，当然，在教学习题时也不能例外，教师要用足用好每一道练习题，认真钻研教材，理解编排意图，明确每一道习题的作用和功能，有效地加以拓展、发散学生的思维。

【案例7】四年级下册教材第81页有这样一道习题：4个任意的小球，分别标上数字1、2、3、4。每次任意摸出2个小球，两数之和为偶数算小红赢，两数之和为奇数算小明赢。这样的游戏规则公平吗？

看到这道习题，生1忍不住回答：当然公平啦。

师（及时给他表达的机会）：那你说说自己的想法。

生1：因为两个数相加的和可能是奇数，也可能是偶数，所以可能性同样大，也就是这个游戏规则公平。

生2：我也认为这个游戏规则公平，因为给我们的4个数当中有2个奇数和2个偶数，当然是公平的。

师：你们说的似乎很有道理，其他同学有不同看法吗？

生3：不一定吧，虽然是2个奇数和2个偶数，但是它们的和也不一定正好一半是奇数，一半是偶数吧。

师：那我们就动笔来算算，用数据说话吧。

（学生探究的欲望被调动起来了，纷纷在作业本上计算起来）

生4：我知道了，这个游戏规则不公平。它们任意两个数字的和有6种不同情况，分别是“1+2=3，1+3=4，1+4=5，2+3=5，2+4=6，3+4=7”。在这6种和之中，偶数的只有2种情况，而奇数的却有4种情况。

师（适时进行引导，将学生的思维引向深处）：可是刚才几个同学的回答听起来也挺有道理的，怎么就会不公平了呢？

生5：因为只要是奇数加偶数就得到奇数，而偶数加偶数或者奇数加奇数才得到偶数，但是偶数加偶数或者奇数加奇数的情况比较少。

教师并没有结束此题的教学，而在原有问题的基础上进行了发散。因为只要有了开放的交流，学生的思维一定会在发散中得到提升。

师：那有什么办法让这个游戏变得公平呢？

（学生立刻在作业本上验算起来，过了一会，他们又有了新的收获）

生6：只要将这4个数字改成1个偶数和3个奇数就公平了。比如改成1、2、3、5。

生7：或者将这4个数字改成3个偶数和1个奇数也公平。比如改成2、3、4、6。

真为学生精彩的发言和独到的见解而骄傲。在这个教学过程中，教师让学生通过训练不断探索解题的捷径，使学生思维的广阔性得到不断地扩充，而多次的渐进式的拓展训练，又使学生进入了广阔而又发散思维的佳境。

教材习题是整合知识的重要载体，也是提升学生数学能力的重要工具。教学中教师要充分挖掘好习题的内涵，放宽教学思路，引导学生参与分析、类比、归纳等数学活动，将知识系统化，实现解题思路的自我发现、自我构建和自我创造，将知识转化成智慧。

（责编 金 铃）endprint

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出示图3，请学生估计出这个盒子里可以放多少牛奶罐。在学生猜的基础上给出图4进行提示，多数学生的估计比较接近于答案。这时出示图5，学生都能说出得到正确答案的原因。教师通过图示，为学生估计、判断提供了支点，让学生感悟到估计时所考虑的相关因素越多，结果越准确。这一经历，学生对“估”的认识不仅仅停留在“猜”的经验上，而是提升了学生的思维，使估算有理。事实证明，灵活拆分、组合、调整习题的内容，能较好地实现教材编写者的意图，切实体现了新课程的理念。

三、延伸习题，引深思维

教材中的习题是编者根据大部分学生的水平设计的，因此不可能面面俱到，不可能完全照顾到每个学生的实际情况。课程标准倡导：不同的人在数学上得到不同的发展。因此，教师要尽可能拓展习题的功能，既要巩固基础又能培养能力，使每个层次的学生都能有所发展。

【案例5】四年级上册教材第97页“想想做做”第5题是这样的：□中可以填哪些数？

9□875≈10万 39□0000000≈39亿

在学生获得准确结果后，教师提出：老师也想了一个整数，它四舍五入到万位后也是10万，这个数最大可能是多少？最小可能是多少呢？

学生迅速思考、动笔尝试。

生1：这个数最大是99999，最小是95000。

生2：不对，最大应该是104000。

师：你是怎样想的？

生2：要想原来这个数最大，显然不能五入得到10万，而应四舍得到10万。所以，原数千位上应该是4，这个数最大是104000。

生3：我觉得还可以更大，应该是104999。因为千位上是“4”后，百位、十位和个位上的数不会影响结果。

生4：我也觉得是104999，因为如果再比它大1，那就成105000了，而这个数四舍五入到万位是11万，不符合题目要求。

尽管原题已经具备了一定的开放性，但这种开放性更多的是建立在尝试、归纳的基础上，思维含量并不丰富。而延伸后的习题，无论从其答案的开放性，还是其思维容量上来看，都有了更多的超越，在培养学生思维的缜密、有序、合理性等方面，都是原题所无法比拟的。

【案例6】四年级上册第101页有这样一道习题：先用计算器算出前四题的得数，再直接填出后两题横线上的数。

1×1=

11×11=

111×111=

1111×1111=

× =

一位教师在教学中，对习题进行了改编与延伸。

师：既然同学们都会用计算器进行计算了，下面就请大家拿出计算器，试着算出下面这道题的结果。

111111111×111111111=

很快，学生通过操作纷纷发现这道题的“问题所在”。

生1：我的计算器只能显示8位，9个1显示不了。

生2：我的计算器只能显示10位，但计算结果显示不出来，大概是数位不够吧。

师：看来，计算器也不是万能的。我们是否能想点法子进行研究呢？

生3：我们可以从11×11算起。

师：那你们就研究吧！

（学生在边研究边讨论）

生4：11×11=121，111×111=12321，1111×1111=1234321。

生5：我知道了，这题的结果为12345678987654321。

师：说说你的想法。

（学生交流了自己发现的规律）

在这个教学中教师不是让学生按部就班地去“发现”规律，而是先引出认知冲突，激发学生进行自主思考，并让学生在教师的引导下自觉建构模型，并最终利用模型解决相关问题。这种教学方式给了我们丰富的启示，值得我们深思、借鉴。

四、拓展习题，发散思维

数学是思维的体操，数学思维在数学学习中具有重要的作用。教师应将思维训练贯穿于整个教学过程，当然，在教学习题时也不能例外，教师要用足用好每一道练习题，认真钻研教材，理解编排意图，明确每一道习题的作用和功能，有效地加以拓展、发散学生的思维。

【案例7】四年级下册教材第81页有这样一道习题：4个任意的小球，分别标上数字1、2、3、4。每次任意摸出2个小球，两数之和为偶数算小红赢，两数之和为奇数算小明赢。这样的游戏规则公平吗？

看到这道习题，生1忍不住回答：当然公平啦。

师（及时给他表达的机会）：那你说说自己的想法。

生1：因为两个数相加的和可能是奇数，也可能是偶数，所以可能性同样大，也就是这个游戏规则公平。

生2：我也认为这个游戏规则公平，因为给我们的4个数当中有2个奇数和2个偶数，当然是公平的。

师：你们说的似乎很有道理，其他同学有不同看法吗？

生3：不一定吧，虽然是2个奇数和2个偶数，但是它们的和也不一定正好一半是奇数，一半是偶数吧。

师：那我们就动笔来算算，用数据说话吧。

（学生探究的欲望被调动起来了，纷纷在作业本上计算起来）

生4：我知道了，这个游戏规则不公平。它们任意两个数字的和有6种不同情况，分别是“1+2=3，1+3=4，1+4=5，2+3=5，2+4=6，3+4=7”。在这6种和之中，偶数的只有2种情况，而奇数的却有4种情况。

师（适时进行引导，将学生的思维引向深处）：可是刚才几个同学的回答听起来也挺有道理的，怎么就会不公平了呢？

生5：因为只要是奇数加偶数就得到奇数，而偶数加偶数或者奇数加奇数才得到偶数，但是偶数加偶数或者奇数加奇数的情况比较少。

教师并没有结束此题的教学，而在原有问题的基础上进行了发散。因为只要有了开放的交流，学生的思维一定会在发散中得到提升。

师：那有什么办法让这个游戏变得公平呢？

（学生立刻在作业本上验算起来，过了一会，他们又有了新的收获）

生6：只要将这4个数字改成1个偶数和3个奇数就公平了。比如改成1、2、3、5。

生7：或者将这4个数字改成3个偶数和1个奇数也公平。比如改成2、3、4、6。

真为学生精彩的发言和独到的见解而骄傲。在这个教学过程中，教师让学生通过训练不断探索解题的捷径，使学生思维的广阔性得到不断地扩充，而多次的渐进式的拓展训练，又使学生进入了广阔而又发散思维的佳境。

教材习题是整合知识的重要载体，也是提升学生数学能力的重要工具。教学中教师要充分挖掘好习题的内涵，放宽教学思路，引导学生参与分析、类比、归纳等数学活动，将知识系统化，实现解题思路的自我发现、自我构建和自我创造，将知识转化成智慧。

（责编 金 铃）endprint

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出示图3，请学生估计出这个盒子里可以放多少牛奶罐。在学生猜的基础上给出图4进行提示，多数学生的估计比较接近于答案。这时出示图5，学生都能说出得到正确答案的原因。教师通过图示，为学生估计、判断提供了支点，让学生感悟到估计时所考虑的相关因素越多，结果越准确。这一经历，学生对“估”的认识不仅仅停留在“猜”的经验上，而是提升了学生的思维，使估算有理。事实证明，灵活拆分、组合、调整习题的内容，能较好地实现教材编写者的意图，切实体现了新课程的理念。

三、延伸习题，引深思维

教材中的习题是编者根据大部分学生的水平设计的，因此不可能面面俱到，不可能完全照顾到每个学生的实际情况。课程标准倡导：不同的人在数学上得到不同的发展。因此，教师要尽可能拓展习题的功能，既要巩固基础又能培养能力，使每个层次的学生都能有所发展。

【案例5】四年级上册教材第97页“想想做做”第5题是这样的：□中可以填哪些数？

9□875≈10万 39□0000000≈39亿

在学生获得准确结果后，教师提出：老师也想了一个整数，它四舍五入到万位后也是10万，这个数最大可能是多少？最小可能是多少呢？

学生迅速思考、动笔尝试。

生1：这个数最大是99999，最小是95000。

生2：不对，最大应该是104000。

师：你是怎样想的？

生2：要想原来这个数最大，显然不能五入得到10万，而应四舍得到10万。所以，原数千位上应该是4，这个数最大是104000。

生3：我觉得还可以更大，应该是104999。因为千位上是“4”后，百位、十位和个位上的数不会影响结果。

生4：我也觉得是104999，因为如果再比它大1，那就成105000了，而这个数四舍五入到万位是11万，不符合题目要求。

尽管原题已经具备了一定的开放性，但这种开放性更多的是建立在尝试、归纳的基础上，思维含量并不丰富。而延伸后的习题，无论从其答案的开放性，还是其思维容量上来看，都有了更多的超越，在培养学生思维的缜密、有序、合理性等方面，都是原题所无法比拟的。

【案例6】四年级上册第101页有这样一道习题：先用计算器算出前四题的得数，再直接填出后两题横线上的数。

1×1=

11×11=

111×111=

1111×1111=

× =

一位教师在教学中，对习题进行了改编与延伸。

师：既然同学们都会用计算器进行计算了，下面就请大家拿出计算器，试着算出下面这道题的结果。

111111111×111111111=

很快，学生通过操作纷纷发现这道题的“问题所在”。

生1：我的计算器只能显示8位，9个1显示不了。

生2：我的计算器只能显示10位，但计算结果显示不出来，大概是数位不够吧。

师：看来，计算器也不是万能的。我们是否能想点法子进行研究呢？

生3：我们可以从11×11算起。

师：那你们就研究吧！

（学生在边研究边讨论）

生4：11×11=121，111×111=12321，1111×1111=1234321。

生5：我知道了，这题的结果为12345678987654321。

师：说说你的想法。

（学生交流了自己发现的规律）

在这个教学中教师不是让学生按部就班地去“发现”规律，而是先引出认知冲突，激发学生进行自主思考，并让学生在教师的引导下自觉建构模型，并最终利用模型解决相关问题。这种教学方式给了我们丰富的启示，值得我们深思、借鉴。

四、拓展习题，发散思维

数学是思维的体操，数学思维在数学学习中具有重要的作用。教师应将思维训练贯穿于整个教学过程，当然，在教学习题时也不能例外，教师要用足用好每一道练习题，认真钻研教材，理解编排意图，明确每一道习题的作用和功能，有效地加以拓展、发散学生的思维。

【案例7】四年级下册教材第81页有这样一道习题：4个任意的小球，分别标上数字1、2、3、4。每次任意摸出2个小球，两数之和为偶数算小红赢，两数之和为奇数算小明赢。这样的游戏规则公平吗？

看到这道习题，生1忍不住回答：当然公平啦。

师（及时给他表达的机会）：那你说说自己的想法。

生1：因为两个数相加的和可能是奇数，也可能是偶数，所以可能性同样大，也就是这个游戏规则公平。

生2：我也认为这个游戏规则公平，因为给我们的4个数当中有2个奇数和2个偶数，当然是公平的。

师：你们说的似乎很有道理，其他同学有不同看法吗？

生3：不一定吧，虽然是2个奇数和2个偶数，但是它们的和也不一定正好一半是奇数，一半是偶数吧。

师：那我们就动笔来算算，用数据说话吧。

（学生探究的欲望被调动起来了，纷纷在作业本上计算起来）

生4：我知道了，这个游戏规则不公平。它们任意两个数字的和有6种不同情况，分别是“1+2=3，1+3=4，1+4=5，2+3=5，2+4=6，3+4=7”。在这6种和之中，偶数的只有2种情况，而奇数的却有4种情况。

师（适时进行引导，将学生的思维引向深处）：可是刚才几个同学的回答听起来也挺有道理的，怎么就会不公平了呢？

生5：因为只要是奇数加偶数就得到奇数，而偶数加偶数或者奇数加奇数才得到偶数，但是偶数加偶数或者奇数加奇数的情况比较少。

教师并没有结束此题的教学，而在原有问题的基础上进行了发散。因为只要有了开放的交流，学生的思维一定会在发散中得到提升。

师：那有什么办法让这个游戏变得公平呢？

（学生立刻在作业本上验算起来，过了一会，他们又有了新的收获）

生6：只要将这4个数字改成1个偶数和3个奇数就公平了。比如改成1、2、3、5。

生7：或者将这4个数字改成3个偶数和1个奇数也公平。比如改成2、3、4、6。

真为学生精彩的发言和独到的见解而骄傲。在这个教学过程中，教师让学生通过训练不断探索解题的捷径，使学生思维的广阔性得到不断地扩充，而多次的渐进式的拓展训练，又使学生进入了广阔而又发散思维的佳境。

教材习题是整合知识的重要载体，也是提升学生数学能力的重要工具。教学中教师要充分挖掘好习题的内涵，放宽教学思路，引导学生参与分析、类比、归纳等数学活动，将知识系统化，实现解题思路的自我发现、自我构建和自我创造，将知识转化成智慧。

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