例谈高中物理试题的自洽

常仁飞

(南京市六合高级中学，江苏南京 211500)

题目的自洽是指问题前后呼应、逻辑严谨、条件能成为问题的充分条件、符合实际、没有矛盾的状态.物理学是一门严谨的科学.虽然高中物理中有一些理想化的模型和近似处理的方法，但物理试题要在这些模型和框架的前提下自洽.现在有很多参考书甚至大型考试的物理试题都会出现不自洽的情况;我们教师在改编物理试题时有时也会忽略一些深层次的因素、出现改编出来的试题不能自洽的情况.导致题目不自洽的原因很多:有条件不足、不符合实际、违背常识、前后矛盾等等.本文主要通过例题来讨论几个比较隐蔽的不自洽问题，以警示命题者要多多考虑，命题后应用多方法、多角度审视问题，避免不自洽.

例1.(江苏教育出版社新课标人教版高中物理创新课时训练必修2活页练习)一辆汽车的质量是5×103kg，发动机的额定功率为60 kW，汽车所受阻力恒为5000 N，如果汽车从静止开始以0.5m/s2的加速度做匀加速直线运动，功率达到最大后又以额定功率运动了一段距离后汽车达到了最大速度，在整个过程中，汽车运动了125m.问在这个过程中，汽车发动机的牵引力做功多少?下面是甲、乙两位学生的解法.

学生乙:F=ma+f=5×103×0.5 N+5000 N=7500 N.

W=Fs=7500 ×125 J=9.375 ×105J.

请对上述两位学生的解法做出评价，若都不同意请给出你的解法.

答案的分析与解答:甲乙两位学生的解法都不正确.

学生甲把125 m全当做匀加速直线运动的位移，求出运动时间t，这一步就错了，然后又用公式W=Pt来求牵引力做功，而汽车在做匀加速运动的过程中功率是逐渐变大的，这一步骤又错了.

在学生乙的做法中，第1步是正确的，但F是汽车做匀加速运动时的牵引力，当汽车以额定功率行驶时，牵引力是变力，做功不能用W=Fs来计算.

点评:本题的解答过程没有问题，结果似乎也正确无误.但让我们换一个角度来看:把汽车的运动分成匀加速运动和变加速运动两段来处理.设匀加速运动能达到的速度为v，位移为s1.最后的最大速度为vm，位移为s.则由题意:对匀加速运动的过程我们有

对变加速运动的过程，由动能定理有

显然，结果和上面的正确解法所得结果不同.是这种解法错了吗?没有，2种解法都对.但结果为什么不同呢?问题出在本题题目的不自洽上.汽车的启动过程没问题，问题在汽车达到的最大速度时的位移125m是出题者杜撰出来的.换句话说、如果本题把位移改成150 m，200 m，500 m，1000 m……按以上解法照样可以做出答案.但对应本题的这种启动过程，汽车达到最大速度时的位移一定是个特定的值.而且不是125 m.长久以来这个问题由于并不影响解题过程而被忽略了.本题可以通过修改题目中的达到最大速度时的位移使问题自洽.

注意:此类关于机车启动的问题的改编，从启动到达到最大速度所通过的位移是唯一的，不能任意杜撰.教师在改编时不能忽略这一点.

图1

例2.(武汉大学出版社高考总复习学案与测评配套的考点演练题)如图1所示，重力为G1=10 N，G2=20N的木块悬挂在绳PC和PB的结点上，PB水平，G2在倾角为30°的斜面上，系统处于静止.试求:

(1)木块与斜面间的摩擦力.

(2)木块所受斜面的支持力.

图2

图3

警示:此类关于摩擦力相关问题的改编，物体重力的选择具有任意性.教师在改编时往往只注意平衡条件，从而忽略μ的取值范围造成不自洽.

图4

例3.如图4所示，水平的平行线间距为d=50 cm，其间有B=1.0 T的匀强磁场.一个正方形线圈边长为l=10 cm，线圈质量m=100 g，电阻为R=0.020 Ω.开始时，线圈的下边缘到磁场上边缘的距离为h=80 cm.将线圈由静止释放，其下边缘刚进入磁场和刚穿出磁场时的速度相等.取g=10 m/s2，求:

(1)线圈进入磁场过程中产生的电热为Q.

(2)线圈下边缘穿越磁场过程中的最小速度v.

(3)线圈下边缘穿越磁场过程中加速度的最小值a.

解析:(1)由于线圈完全处于磁场中时不产生电热，所以线圈进入磁场过程中产生的电热Q就是线圈从图4中2位置到4位置产生的电热，而2、4位置时动能相同，由能量守恒有Q=mgd=0.50 J.

(2)3位置时线圈速度一定最小，而1到2位置线圈是自由落体运动因此有v02=2gh;3到4位置有v02-v2=2g(d-l)，解得v= 2m/s.

注意:此类关于线框在磁场中下落相关问题的改编，往往会出现变加速运动的过程.通常需要用动能定理解答.但是不能因为动能定理不涉及过程的细节就一味忽视物体的实际运动而造成不自洽.

图5

例4.如图5所示，在质量为M=0.99 kg的小车上，固定着一个质量为m=10 g、电阻R=1Ω的矩形单匝线圈MNPQ，其中MN边水平，NP边竖直，高度l=0.05m.小车载着线圈在光滑水平面上一起以v0=10m/s的速度做匀速运动，随后进入一水平有界的匀强磁场，完全穿出磁场时小车的速度v1=2m/s.磁场方向与线圈平面垂直并指向纸内、磁感应强度大小B=1.0 T.已知线圈与小车之间绝缘，小车长度与线圈MN边长度相同.求:

(1)小车刚进入磁场时线圈中感应电流I的大小和方向;(2)小车通过磁场的过程中线圈电阻的发热量Q;(3)小车进入磁场过程中线圈克服安培力所做的功W克.

解析:(1)线圈切割磁感线的速度v0=10 m/s，感应电动势E=Blv0=1×0.05×10 V=0.5 V.

由楞次定律可知，线圈中感应电流方向为M→Q→P→N→M.

这显然很荒谬，到哪里找这样的线框(宽5 cm，长1600 m，质量只有10 g)和小车.又如何获得如此大的匀强磁场呢?笔者认为不应该出现这种不符合实际的情景.我们不能为了给学生做题而随便编题.只要适当修改小车质量和线框宽度就可以使线框的长度在一个合理的范围内，从而避免题目的不自洽.

注意:在改编物理问题时要时刻考虑实际情况，不要脱离实际为了出题而出题.

1 郑永圣.例谈习题命制一定要注意所给条件的自洽［J］.物理教师，2012(1):52，55.

2 周为明.从一道模拟卷上的错题谈命题的自洽性［J］.物理教师，2004(12):35-36.

3 张友学.命制电磁感应试题应重视自洽性检验［J］.物理教师，2012(12):65-67.