一元二次方程根的分布

沈佳佳

一元二次方程根的分布是高中数学的重要内容，可以运用函数与方程的关系来解决。

一、两根都小于或大于某个数

例1.若方程2x2+3x-5m=0的两实根都小于1，则实数m的取值范围是__________

解析：设f（x）=2x2+3x-5m，依题意，

得x0=-■<0

Δ=32-4×2×（-5m）≥0

f（1）=2×12+3×1-5m>0，解得-■≤m<1，即m的取值范围为[-■，1）

二、两根在某个数的两侧

例2.求实数m的范围，使关于x的方程x2+2x+m+1=0有两个实数根，且一根比1大，另一根比1小。

解：设函数f（x）=x2+2x+m+1，依题意，

可得f（1）=m+4<0，

解得m<-4。故m的取值范围为（-∞，-4）

三、两根都在某一区间内部

例3.已知关于x的方程x2-（m+4）x-2m2+5m+3的两个

不等实根都在区间[-1，3]内，求实数m的取值范围。

解：设函数f（x）=x2-（m-4）x-2m2+5m+3，可得对称轴为直线x=■，依题意，可得-1≤■≤3

Δ≥0

f（-1）≥0

f（3）≥0，解得-6≤m≤2

m∈R

-1≤m≤4

0≤m≤1即0≤m≤1，故m的范围为[0，1]

四、两根在某一区间两侧

例4.如果方程x2+2mx-1+m=0的两个根一个小于0，

另一个大于1，试确定m的范围。

解：设f（x）=x2+2mx-1+m，依题意，得f（0）=m-1<0

f（1）=3m<0，解得m<1

m<0即m<0。故m的取值范围为（-∞，0）。

五、两根只有一个在某一区间内

例5.若关于x的方程2x2+mx+1=0的两个不等实根有且只有一个在区间（0，1）内，求实数m的取值范围。

解：设f（x）=2x2+mx+1，依题意，可得f（1）f（0）<0，即m+3<0，

解得m<-3，故m的取值范围为（-∞，-3）。

六、两根在两个区间内

例6.已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0有两根，其中一根在区间（-1，0）内，另一根在区间（1，2）内，求m的取值范围。

解：设函数f（x）=x2+2mx+2m+1，依题意，

可得f（-1）=2>0

f（0）=2m+1<0

f（1）=4m+2<0

f（2）=6m+5>0，解得-■

因此，m的取值范围为-■，-■

（作者单位 江苏省上冈高级中学）