由不同生成元而形成的Cantor集的多重分形谱比较

左 飞 (盐城师范学院数学科学学院，江苏 盐城 224002)

由不同生成元而形成的Cantor集的多重分形谱比较

左 飞 (盐城师范学院数学科学学院，江苏 盐城 224002)

为了研究在不同生成元下，Cantor集的多重分形谱的变化规律及比较它们之间的差别。选择了Cantor集的一种质量分布，当赋予质量以不同的概率比时，用多重分形谱的方法加以分析，并用Matlab软件画出多重分形谱随奇异指数变化的函数图，能够直观的比较多重分形谱之间的差别和广义分形维数之间的差别。通过比较，当生成元之间的差别越来越小时，多重分形谱的宽度则越来越窄，且广义分形维数的纵向高度也越来越窄。所有多重分形谱的最大值均为Cantor集的Hausdoff维数,也即0.631。

分形几何；多重分形测度；多重分形谱；广义分形维数；Cantor集

多重分形测度理论为近年来分形几何研究的一个重要而活跃的分支，特别是对于统计物理学而言，因为单一的分形维数只能反映不规则对象的总体特征，不能对分形对象作更细微的分析，因此对于刻画客观事物的形貌显得越来越‘粗糙’。而多重分形理论对不规则研究对象内部之间赋予概率的成分，充分考虑到不规则对象内部各区域之间的分布的不均匀性，从而更细致的刻画了分形几何对象的特征。下面，笔者从多重分形测度理论的角度来分析典型的分形集Cantor集的多重分形谱与广义分形维数。

1 主要概念与结论

定义1[1-2](多重分形测度) 设μ为定义在Rn上的测度，且0<μ(Rn)<∞，若满足幂律关系式：

μ(Br(x))∝rα

(1)

式中，Br(x)为以x为中心、r为半径的闭球；α为幂指数(也称奇异指数)，则称具有这种性质的分布或测度称之为多重分形测度。

定义2[1-3](配分函数、质量指数) 对于尺度为δ的盒子，其第i个盒子的质量分布概率为Pi(δ)，称表达式：

(2)

为配分函数。由式(2)两边取对数，再取极限得到：

(3)

τ(q)称为质量指数。

定义3[1-3](广义分形维数) 定义广义分形维数Dq为：

(4)

定义4[1-3](多重分形谱) 设F是一个分形集，用尺度为δ的盒子对F进行划分，把全部概率分布为Pi(δ)组成的集划分为一系列子集，即按Pi(δ)的大小划分为满足下面的幂函数的子集：

Pi(δ)∝δα

(5)

这里α为奇异指数(它是反映分形上各个小集合的奇异程度的一个量，所以α的数值必定与所在的子集有关。特别地，如果分形集F分布是均匀的，则α必然只有一个值。若不均匀，可以用α值的大小区分为许多小子集)。将子集内的单元数N(δ)和δ的关系定义为：

N(δ)∝δ-f(α)

(6)

这里的f(α)就表示具有相同奇异指数α的子集的分形维数。称f(α)为多重分形谱。它是奇异指数α的函数。

经过证明[1-2]，q(-∞

(7)

如果已知质量指数τ(q)，则可以求出奇异指数α(q)，式(7)给出了多重分形谱f(α)的参数表达式，参数为q。另一方面，如果能测得广义分形维数Dq，可以计算奇异指数α(q)，然后计算出τ(q)，从而由式(7)计算出f(α)。相反如果已知f(α)，由此得到q，再求出τ(q)，最后由式(4)求出Dq。它们之间都是隐函数和参量方程的关系，对于一般的分形集，以上多重分形理论是严格的，但在实际应用上计算非常困难，因此从应用角度出发，只能用近似的计算来逼近以上的理论。

这里定义多重分形谱的宽度[3]为:

Δα=αmax-αmin

(8)

它在图中的宽、窄程度定量的表征了分形曲线的各小区间中最大、最小概率间的差别。

2 应用举例

(9)

(10)

从而由式(7)可得多重分形谱为：

(11)

下面取生成元为不同的值比较其差别:

(1)当p1=1/8,p2=7/8，其多重分形谱与广义分形维数的图如图1、图2所示：

D-∞=1.893D∞=0.122D1=f(α(1))=0.343=f(α(-1))

(2)当p1=1/6,p2=5/6,多重分形谱与广义分形维数的图如图3、图4所示：

D-∞=1.631D∞=0.166D1=f(α(1))=0.410=f(α(-1))

(3)当p1=1/4,p2=3/4,多重分形谱与广义分形维数的图如图5、图6所示：

D-∞=1.262D∞=0.262D1=f(α(1))=0.512=f(α(-1))

(4)当p1=1/3,p2=2/3,多重分形谱与广义分形维的图如图7、图8所示：

D-∞=1D∞=0.369D1=f(α(1))=0.579=f(α(-1))

图1 p1=1/8,p2=7/8的多重分形谱 图2 p1=1/8,p2=7/8的广义分形维数

图3 p1=1/6,p2=5/6的多次分形谱 图4 p1=1/6,p2=5/6 的广义分形维数

图5 p1=1/4,p2=3/4的多重分形谱 图6 p1=1/4,p2=3/4的广义分形维数

(5)当p1=2/5,p2=3/5,多重分形谱与广义分形维数的图如图9、图10所示：

D-∞=0.834D∞=0.465D1=f(α(1))=0.613=f(α(-1))

(6)当p1=1/2,p2=1/2,多重分形谱与广义分形维数的图如图11、图12所示：

D-∞=D∞=0.631

图7 p1=1/3,p2=2/3的多重分形谱 图8 p1=1/3,p2=2/3的广义分形维数

图9 p1=2/5,p2=3/5的多重分形谱 图10 p1=2/5,p2=3/5的广义分形维数

图11 p1=1/2,p2=1/2的多重分形谱 图12 p1=1/2,p2=1/2的广义分形维数

3 结 语

综上所述，简单分形维数(如盒维数)，仅仅是对分形曲线形貌的总体表征，而并没有考虑曲线内部分布的不均匀性，因此对于刻画分形曲线显得比较“单一”，而多重分形理论以概率分布的方式，考虑了在分形曲线内部分布的不均匀性。多重分形谱的宽度Δα可以定量的说明分形曲线的起伏程度。

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[编辑] 洪云飞

O189

A

1673-1409(2013)25-0001-04

2013-06-24

左飞(1981-)，男，硕士，讲师，现主要从事应用数学方面的教学与研究工作。