加权p,q对称熵损失下Poisson分布变异系数的Bayes估计

王　兰,　谷伟伟,　芦凌飞

(中国矿业大学 理学院, 江苏 徐州 221116)



加权p,q对称熵损失下Poisson分布变异系数的Bayes估计

王兰,谷伟伟,芦凌飞

(中国矿业大学 理学院, 江苏 徐州 221116)

为更全面研究Poisson分布的估计问题,在加权p,q对称熵损失函数下,讨论了Poisson分布变异系数的Bayes估计,并给出了Bayes估计的置信区间和多层Bayes估计,得到了其具体形式。

Poisson分布; 加权p,q对称熵损失函数; Bayes估计

0　引　言

Poisson分布是1837年由法国数学家Poisson S.D.(1781-1840)首次提出的一种常用的离散分布,常与单位时间、单位产品或单位面积等上的计数过程相联系,相关研究已有很多[1-4]。Poisson分布在现实生产和生活中应用非常广泛,是一类重要的离散分布。 其分布律为

(1)

由于随机变量的取值有量纲,不同量纲的随机变量用方差或标准差去比较其波动大小不太合理,并且在取值的量纲相同的情形下,取值的大小有一个相对性问题,取值较大的随机变量的方差或标准差也允许大一些,所以在比较两个随机变量的波动大小时常用到变异系数,其具体定义如下:

定义1设随机变量X的二阶矩存在,则称比值

为X的变异系数。

由定义1知变异系数是以其数学期望为单位去度量随机变量取值波动程度的特征数,标准差的量纲与数学期望的量纲是一致的,所以变异系数是一个无量纲的量,是刻画保险风险最常用的指标之一。

其中x1,x2,…,xn为随机样本X1,X2,…,Xn的一组实现值。

在统计决策问题中,统计决策及参数估计的优劣性在很大程度上依赖于损失函数形式的选取。常用的损失函数有平方损失函数、对称损失函数[5]、熵损失函数[6]和LINEX损失函数[7]等。文献[8-9]等已利用对称损失函数得到相关研究的结果。文中在加权p,q对称熵损失函数

(2)

下讨论变异系数θ的估计,可根据p,q的灵活选取做出最合适的估计。这里δ是待估参数θ的估计量。由损失函数的性质易知其关于δ是严格凸函数,并且在δ=θ处取得唯一的最小值。

1　变异系数θ的Bayes估计

下面定理给出了在损失函数(2)下变异系数θ的贝叶斯估计。

定理1记X=(X1,X2,…,Xn),在损失函数(2)下,无论先验分布取何种分布,变异系数θ的Bayes估计为

R(θ,δ)=E[L(θ,δ)]=

(3)

要使式(3)左端R(θ,δ)最小,则需要极小化

由于

(4)

式(4)右端关于δ求导并令其等于0,解得

下面定理2是在给定先验分布π(θ)后,结合定理1,给出了变异系数θ的精确Bayes估计。

定理2对于给定损失函数(2),若参数λ的先验分布为

(5)

则变异系数θ的Bayes估计为

证明易得λ的后验密度

h(λ|X)∝λT(X)+α-1·e-λ(n+β),

从而有

同理有

从而由定理1得

2　变异系数θ的置信区间

定理3对于Poisson分布,给定加权p,q对称熵损失函数(2)和先验分布(5),对给定置信水平1-k,变异系数θ的置信区间为

由定理2,

h(λ|X)∝λT(X)+α-1·e-λ(n+β)，α,β>0，

由于2(n+β)λ～χ2(2T(X)+2α),故对给定k∈(0,1),有

1-k。

从而参数λ的置信水平1-k的置信区间为

3　变异系数θ的多层Bayes估计

定理2中的变异系数θ的Bayes估计δB(X)中的α、β仍未知,这样的参数称为超参数。对两个未知参数α、β分别给定先验得到超先验,这里的超先验和定理2中的先验决定了一个新的多层先验。θ的多层Bayes估计就是在该多层先验下得到。

先验分布(5)中的超参数α>0,β>0未知并相互独立,利用减函数构造法得到两个超先验分别为:

h1(α)=U(0,1) ,h2(β)=U(0,c)，

(6)

其中c为常数。对于这样的两层先验分布,下面定理4给出了θ的两层Bayes估计。

定理4对于Poisson分布(1),给定式(6)中的两层先验分布和损失函数(2), 变异系数θ的两层Bayes估计为

证明由上面讨论可知变异系数θ的先验分布为

从而得到θ的后验分布为

进而得

所以得

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(编辑王冬)

Bayes estimation of Poisson coefficient of variance under weightedp,qsymmetric loss function

WANGLan,GUWeiwei,LULingfei

(College of Sciences, China University of Mining & Technology, Xuzhou 221116, China)

Aimed at a better study of the estimation of Poisson distribution, this paper discusses the Bayes estimation of Poisson coefficient of variance under the weightedp,qsymmetric loss function, gives the expression of its confidence interval and hierarchical Bayes estimation ,and offers its concrete form.

Poisson distribution; weightedp,qsymmetric loss function; Bayes estimation

2013-04-27

王兰(1988-),女，江苏省徐州人，硕士，研究方向：概率论与数理统计，E-mail:Wanglan4095@126.com。

10.3969/j.issn.1671-0118.2013.04.010

O212.8

1671-0118(2013)04-0356-04

A