平而不俗 兼收并蓄——一道高考解三角形小题的赏析

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(湖州市教育科学研究中心 浙江湖州 313000) (大连理工大学 辽宁大连 116024)

平而不俗兼收并蓄——一道高考解三角形小题的赏析

●王勇强●陈坤杰

(湖州市教育科学研究中心 浙江湖州 313000) (大连理工大学 辽宁大连 116024)

1 问题提出

2013年浙江省数学高考理科卷第16题如下：

初识此题，觉得这道填空题很常规、普通.主要考查正、余弦定理、三角形面积公式及三角运算等基础知识，同时还考查运算求解能力.该题是填空题的倒数第2题，难度设置为中档，但从考生感觉及阅卷结果来看，许多考生不会做或给出了错误的答案，得分之低出人意料.于是笔者静下心仔细思考，再细品此题，忽然产生了一种新的感觉，觉得此题简约而不简单、平而不俗、兼收并蓄，重在考查学生思维的灵活性和深刻性.此题极像一位内蕴丰富的淑女，正在灵巧地拨动琴弦，优美的琴声激起你的思绪.你只要给她细细整妆梳理，她就能显现出光彩照人、内涵丰富的一面.本题的题源在哪里？有哪些解法？它难在哪里？对我们的日常教学有何启示？下面笔者将逐一探讨.

2 追根溯源

人教A版《数学》必修4第3章“三角恒等变换”的章头图中给出了一个测电视发射塔高度的问题，该问题的图与这道高考试题非常相似，已知条件也很相似，只是所求的目标有所区别.课本章头图的问题是求边长，而高考题是求角的正弦值,实际上只要求出任意2条边的边长比例关系，所求角的正弦值就水到渠成了.另外，人教A版《数学》必修5第1章“解三角形”中不少测距离的问题与此高考题神似，比如第13页的例3、例4，第15页的练习题3以及第19页的习题4，复习参考题A组第5题．由此可知，此高考填空题的题源是课本上的测距问题，它高度提炼了课本上例题、习题的精髓.此高考填空题题干平和、简洁却保留测距问题的本质，将解三角形的正弦定理、余弦定理、三角形面积公式和三角恒等变换、平面向量等兼收并蓄，纵横联系，做到简约而不简单、平而不俗．这样设计试题体现了命题者的别具匠心.

图1

3 解法赏析

分析如图1，在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.因为∠C=90°，所以要想求出sin∠BAC的值，只需根据条件找到a,b,c中任意2条边的比例关系即可.不妨设b=1，由已知条件可得

则

解法1(利用正弦定理)在△ABM中，

从而

在△ABM中,

解法3(利用三角形面积公式)由三角形面积公式可知，

解法4(利用三角恒等运算)因为∠BAM=∠BAC-∠CAM,所以

tan∠BAM= tan(∠BAC-∠CAM)=

所以

图2

评注上述5种解法，思路清晰明了，过程自然流畅，紧扣正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等基础知识，并能灵活运用三角变换、平面向量的数量积运算解决问题.方法的多样性体现了对考生运算能力的考查中包含了对思维能力、思维品质的考查.特别是解法3利用三角形面积“算两次”、解法4利用两角差的正切公式、解法5利用平面向量的数量积等来建立有关边与角的等量关系，不仅能简化运算、揭示问题的本质，还可以开阔学生的数学思维、激发学生学习数学的兴趣.本题的多种解法充分发挥了数学“多元联系表征”的特点，从不同角度切入，应用不同的数学工具，呈现出同样的精彩，给人以美的享受.

4 教学启示

尽管新课改对三角函数板块的教学要求有所降低，且一直有“三角无难题”之说，但从多年来各类检测和本次高考学生的得分情况来看，这类试题得分率并不高，部分学生对三角概念公式的理解也不到位，实际掌握程度低.虽然前面所述的5种解法思路是自然的，只要掌握课本的基础知识、考试说明中要求的基本思想方法就能顺利求解此题，并不需要什么特殊技巧.但还是有相当一部分学生在此题答题情况中暴露出基础知识薄弱、解题目标意识不强、转化意识淡薄、公式运用僵化、运算能力欠佳等问题.此题带给我们的启示是深远的，数学的基础知识、基本思想方法、基本技能、基本活动经验的重要性再一次得到诠释，通性通法的意识和掌握程度是必须提高的.在今后的教学中应注意以下几个问题.

(1)夯实基础，回归教材.在新课教学中要注重基础知识、基本概念的形成过程，加强过程教学，让学生主动参与到新知识、新概念的建构过程中来，尽可能让学生亲自探索、发现新知.教师在解题过程中要养成“回到基本概念中去”的解题习惯，从而引领学生夯实基础，熟练运用课本知识解决“基础题”.在复习阶段，回归课本既是“以不变应万变”的复习策略，又是提高备考效率的有效途径.复习教学要站在系统与结构的宽度、思想与方法的深度、联系与区别的高度去把握课本中的概念、定义、定理、公式、例题、练习题等，多延伸拓展、强化变式教学才能更有效地提高复习效率.因此，夯实基础，回归教材依然是我们平时教学和复习备考的主要内容.

(2)立足通性通法是浙江省数学高考命题一直延续的特点，在平时复习时要注重“题不在多，理解则灵”，特别是要重视对各章节知识中通性通法的复习和掌握,要切实淡化特殊技巧.前面所述的5种解法的本质是沟通三角形的边与角的关系，不管是用正弦定理还是余弦定理、向量的数量积公式等都是解决此类问题的基本方法.坚持通性通法，不仅能不断地将学生的思维引向数学的基本概念和基本思想，使学生养成良好的思考习惯，以“不变”的思考问题的出发点来应对“万变”的数学题目，才能摆脱题海，事半功倍.注重通性通法才是好的数学教学.

(3)在教学过程中要加强培养学生的转化意识与方法，同时注意扩展学生的视野，增加学生的见识，提升综合运用知识的能力.解题教学中，教师要善于引导学生真正参与思维活动，学习如何读题、分析题意，如何进行多元联系、多角度转化，如何研究已知与未知的关系，获得解题的思路，如何实施并适时调整.每解完一题，要学会总结与反思，都要力求对数学概念和解题规律有所加深，在转化的意识与方法上有所提高，达到会做一题就会做一片题目，在解题中学会解题，真正提高教学效率.这种良性循环定能为学生谋取更广大的长远利益，真正发挥数学教学的育人功能.