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(杭州市第十四中学 浙江杭州 310006)
从分式运算对理科学生的解题要求谈起——对浙江省数学高考试题的几点思考
●夏霖马茂年
(杭州市第十四中学 浙江杭州 310006)
2013年高考结束,关于数学高考试题的各种分析铺天盖地,有的挖掘试题背景给出精彩“秒杀”解法,有的借助数学软件从直观的角度寻求解法,诚然上述研究作为教研活动值得提倡,能够开拓教师教育教学的思路.笔者认为,教师不仅要站在“山顶”高屋建瓴地给“山下”的学生指点江山,更应走到“山下”,给学生指一条路,并且陪着学生一起“上山”,让学生能够自己到“山顶”领略无限风采.对于考生而言,在紧张的考试过程中,往往很难实现“秒杀”.笔者试着以一名普通考生的心境做完2013年浙江省数学高考卷,发现本着一颗平常心,不追求奇思妙解,踏踏实实地从题意出发,走平常路,也能得到不错的成绩.
本文仅以理科卷中能用到分式运算的试题为例,因为通观文、理卷,笔者深深感触到:文科和理科对于分式运算的要求大为不同,粗粗算来理科卷中涉及分式运算的有以下几题:第6,16,17,19,21题,而文科卷仅一题.本文中笔者列举的处理分式的方法都是基本方法,于学生而言容易上手,在有限的考试时间内不必花费大量时间寻找解题思路,稳扎稳打即可收获成功.
(2013年浙江省数学高考理科试题第6题)
即
从而
可化为
3tan2α-8tanα-3=0,
从而
因此
注解法1是处理分式“齐次式”的常用方法,分子、分母同除以某一项,以统一变元.
类似地,我们还可以处理例2:
(2013年浙江省数学高考理科试题第17题)
故
从而
又
sin2α+cos2α=1,
得
(k2+1)cos2α=1,
即
故
从而
3k2-8k-3=0,
得
则
(2013年浙江省数学高考理科试题第19题)
解由题意得
即
3a+6b+9c=5(a+b+c),
从而
2a-b-4c=0.
(1)
从而
4a+b+16c=5(a+b+c),
即
a+4b-11c=0.
(2)
由式(1),式(2)解得
a=3c,b=2c,
从而
a∶b∶c=3∶2∶1.
(2013年浙江省数学高考理科试题第16题)
解设BM=CM=x,AC=y,则
在△ABM中,由余弦定理得
从而
2x2=y2,
(2013年浙江省数学高考理科试题第21题)
(4+k2)x2+8kx=0,
故
从而
设△ABD的面积为S,则
的形式,然后用基本不等式或者“打勾”函数来处理.
教学建议分式运算这一内容在高中数学课本中没有单独地成章成节,它分布在函数值域、函数单调性、三角函数求值、方程根的分布、不等式的证明等问题中,从高一新课到高三复习都占有一席之地.在教学中,教师应对那些符合学生思维习惯、认知基础的通解通法予以高度重视,培养学生对分式运算类型的辨析及快速准确的应对能力.对于超出学生思维习惯、认知基础的特殊技巧,教师可以启发式讲授,但要深入挖掘其合理性、必要性,力求自然、和谐、水到渠成.