新课改中“数形结合”应用的一点思考

宋军梅

摘 要：数形结合的基本思路是：根据数的结构特征，构造出与之相应的几何图形，并利用图形的特性和规律，解决数的问题，或将图形信息全部转成代数信息，使解决形的问题转化为数量关系的讨论.就高中数学中常见的几种类型题的解题方法做了一些对比，突出数形结合思想的特征.

关键词：数形结合；函数图象；应用

数形结合是通过“以形助数”或“以数助形”，把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思考，也就是将抽象思维与形象思维有机地结合起来，解决问题的一种数学思想方法.它能使抽象问题具体化，复杂问题简单化，在数学解题中具有极为独特的策略指导与调节作用.

具体地说，数形结合的基本思路是：根据数的结构特征，构造出与之相应的几何图形，并利用图形的特性和规律，解决数的问题；或将图形信息全部转化成代数信息，使解决形的问题转化为数量关系的讨论.

数形结合应用广泛，不仅在解决选择题、填空题时显示出它的优越性，而且在解决一些抽象数学问题中常起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”，但“以数解形”在近年高考试题中也得到了加强，这种发展趋势在我几年来的新课改教学中也深有体会.

下面就以下几种常见题型结合自己的教学感受做一点初步探讨。

一、解决集合、函数问题

利用韦恩图、数轴及常见函数图象

例1 设A=x|-2≤x≤a，B=y|y=2x+3且x∈A，C={z|z=x2且x∈A}，若C？哿B，求实数a的取值范围.

点拨 解决集合问题首先应看清元素究竟是什么，然后再把集合语言“翻译”为数学语言，进而分析条件与结论特点，再将其转化为图形语言，利用数形结合的思想来解决.

【解析】∵y=2x+3在[-2，a]上是增函数，

∴-1≤y≤2a+3，即B=y|-1≤y≤2a+3，

作出z=x2的图象，该函数定义域右端点x=a有三种不同的位置情况如下：

（1）当-2≤a≤0时，a2≤z≤4，

即C=z|a2≤z≤4，

要使C？哿B，必须且只需2a+3≥4，得a≥■，与-2≤a<0矛盾.

（2）当0

必须且只需2a+3≥4

0≤a≤2，解得■≤a≤2.

（3）当a>2时，0≤z≤a2，即C=z|0≤z≤a2，要使C？哿B，必须且只需a2≤2a+3

a>2，解得2

（4）当a<-2时，A=Φ，此时B=C=Φ，则C？哿B成立，综上所述，a的取值范是（-∞，-2）∪[■，3].

【规律小结】 （1）解决本题的关键是依靠一元二次函数在区间上的值域求法确定集合C，进而将C？哿B用不等式这一数学语

言加以转化，借助数形结合思想解决.

（2）韦恩图、数轴，不仅可以使各集合之间的相互关系直观明了，而且也便于将各元素的归属确定下来，使抽象的集合问题通过直观形象的图形解决，为问题的解决创设了有益的情境.

二、解决方程、不等式问题

利用数轴法和图象法来解决

例2 若方程1g（x2+20x）-lg（8x-6a-3）=0有惟一的实数解，求a的取值范围.

【解析】原方程等价于x2+20x=8x-6a-3

x2+20x>0

即x2+12x+3=-6a（x>0或x<-20），

由数想形，

令C：y=x2+12x+3=（x+6）2-33（x>0或x<-20），

再令l：y=-6a，

原方程有惟一解，

即直线l与抛物线C有惟一交点，从图中可知，

■

当x=-20时，y=163；当x=0时，y=3，∴当3<-6a≤163，

即-27■≤a<-■时，原方程有惟一实数解.

【规律小结】（1）解决这类问题时要注意准确画出函数图象，注意函数的定义域.

（2）用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图），然后作出两个函数的图象，由图求解.

三、解决三角函数、平面向量问题

（1）借助单位圆及三角函数线和三角函数的图象及性质来

解决；

（2）联想一些特殊的图形，用向量的有关概念及运算解题。

例3 设关于θ的方程■cosθ+sinθ+a=0在区间（0，π）内有相异的两个实根α、β.

（1）求实数a的取值范围；（2）求α+β的值.

点拨（1）若令x=cosθ，y=sinθ，则由题设知直线l：■x+y+a=0，与圆x2+y2=1，有两个不同的交点（cosα，sinα）和（cosβ，sinβ），运用直线与圆的位置关系可求得a的取值范围及α+β的值.

（2）可将原方程化为sin（θ+■）=-■，原问题可转化为三角函数y=sin（x+■）的图象与直线y=-■有两个不同的交点时，求a的范围及α+β的值.

【解析】（1）原方程可化为sin（θ+■）=-■，作出函数y=sin（x

+■）（x∈（0，2π））的图象.由图知，方程在（0，2π）内有相异实根α，β的充要条件是…

【规律小结】（1）此题若不用数形结合法，用三角函数有界性求a的范围，不仅过程繁琐，而且很容易漏掉a≠-■的限制，而从图象中可以清楚地看出当a=-■时，方程只有一解.

（2）在解决三角函数的有关问题时，若把三角函数的性质融于函数的图象之中，将数（量）与图形结合起来进行分析、研究，可使抽象复杂的数量关系通过几何图形直观地表现出来.

例4 在直角坐标系xOy中，■，■分别是与x轴，y轴平行的单位向量，若直角三角形ABC中，■=2■+■，■=3■+k■，则k的可能值有（ ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

所以k的可能值个数是2.

解法二：（数形结合）如图，将A放在坐标原点，则B点坐标为（2，1），C点坐标为（3，k），所以C点在直线x=3上，由图知，只可能A、B为直角，C不可能为直角.所以k的可能值个数是2.图形直观地表现出来，这是解决三角函数问题的一种有效的思维策略.

【规律小结】几何图形向量化，向量问题坐标化，运用向量坐标运算解决几何中的共线、垂直、夹角、距离等问题。把抽象的几何推理化为代数运算，把定性问题转化为定量问题，大大降低了解题难度.

四、解决解析几何问题

在解析几何中的一些最值、定值等问题时，常根据图形的性质结合相关的定义进行转换，使问题得到快速解决.

例5 已知P为抛物线y=■x2上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A的坐标是（2，0），则PA+PM的最小值是_____.

【解析】如图，抛物线y=■x2，即x2=4y的焦点F（0，1），记点P在抛物线的准线l：y=-1上的射影为P′，根据抛物线的定义知，

【规律小结】在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点：

（1）要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征；

（2）要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化；

（3）要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏；

（4）精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，便于问题求解.作图时，图形相对位置不准确，易造成结果错误.

数形结合与数形转化的目的是为了发挥形的生动和直观性，发挥数的思路的规范与严密性，两者相辅相成，扬长避短.数形结合绝不是一种孤立的解题技巧，它从一个侧面反映了数学的本质特点，这是一种重要的数学思想方法，它的应用非常广泛。

（作者单位 吉林一中）