解法应追求“普适性”

安徽省五河一中 张同语 （邮编：233300）

1 一个解题案例

在一节高三数学复习课上，一位教师出示了这样一道例题：已知多项式（1＋x）50＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a50x50，求a1＋2a2＋3a3＋…＋50a50的值.

让学生思考片刻后，教师便在黑板上给出了如下的一个精彩解法：

解 由（1＋x）50＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a50x50两边对x求导得：

50（1＋x）49＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋50a50x49，再令x＝1得a1＋2a2＋3a3＋…＋50a50＝50×249.

在学生既惊奇又兴奋的时候，教师很快跟进补充一道变式题：已知多项式

（1＋x）50＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a50x50，求a1＋2a2＋…＋25a25的值，让学生思考解答.

从学生的解答反馈看，非常糟糕，全班只有极少数几位做对了，其余同学几乎都在模仿老师的解法，求导赋值后，不知如何进行下去.

2 学生为什么“懂而不会”？

学生之所以“懂而不会”，问题在于教师所给解法属于巧法，不是该例题的本质性解法.笔者认为，教师教给学生的解法是否好，其标准不是看解题是否简明，奇巧，而应该看其解法是否是通性通法，因为只有通性通法才具有普适性，否则，学生对巧法虽能听懂，但不一定能真正理解，那么该例题究竟如何讲解才符合学生的认知规律，能让学生从容、牢固地掌握呢？

3 解法的调整

经笔者与该教师的商讨，该教师在另一个班教学该例题时，作了如下调整.

然后让学生对比该题所求结论与这一性质的差异（二项式系数前因数的差异），通过消除差异，寻求解题的突破口.

那么如何消除差异呢？经师生共同讨论，得到如下的两种具有普适性的解法.

受上述两种解法的启发，对于变式题，该班学生绝大部分都能得到正确结果50×248（具体解答略），且从解法2中一些学生还将所求和式中二项式系数前的因数推广到任意一个等差数列，这种推广是“求导赋值法”做不到的.

4 感悟

由上述解题案例的分析与思考可以看出，教师对例题的第一次教学是失败的！对学生而言，“求导赋值法”完全是“魔术师帽子里跑出一个兔子”，只能惊叹，很难学会.同时，这种带强烈技巧性的解法，常常会掩盖问题的本质，诱发学生的思维惰性，一旦问题稍加改变，学生便会束手无策.章建跃先生曾说：“课堂教学中，如果我们的教学不能打动学生，学生对我们的讲解无动于衷，那么他们就不可能有心领神会的心灵共鸣，我们讲得再精彩也只能是无功而返.”仅靠巧法来打动学生，学生也只能停留在“欣赏”层面，不会产生心领神会的心灵共鸣，最终还是“懂而不会”.只有坚持解法的“普适性”才能使学生较好地学会解题、领悟解题，从而达到举一反三，融合贯通的效果.

1 章建跃.关注学生的感受最重要［J］.中小学数学（高中版），2009（5）