分段函数在微积分中的计算

任伟和，李晓辉

（石家庄理工职业学院，河北石家庄050228）

高教论摘(4则)

分段函数在微积分中的计算

任伟和，李晓辉

（石家庄理工职业学院，河北石家庄050228）

本文主要讲述了分段函数在微积分中的计算，并通过具体的实例讨论了分段函数在极限与连续、可导性与连续性、不定积分、定积分等方面的应用.解决了在讨论分段函数的连续性、可导性、不定积分及定积分时,为什么要在分段函数的分界点处进行讨论以及怎样讨论的问题。

分段函数；可导；不定积分；定积分

1 引言

在微积分中，涉及较多的函数除了初等函数外，还有分段函数.大多数有关分段函数的问题，初学者都感觉不太好处理.因此，本文通过具体的实例讨论了分段函数在连续性、可导性以及积分中的计算。

2 分段函数的连续性

2.1 函数在某一点处的连续性

例1讨论函数

综上，

2.2函数在区间上的连续性

分析：开区间内连续是指内部每一点处均连续，闭区间上连续指的是内部点连续，左端点处右连续，右端点处左连续.

3 分段函数可导性

用导数的定义求函数在一点处的导数时，要注意以下两点：

(2)对于分段函数在分界点处导数的求法，先求出左右导数，如果左右导数相同，则分段函数在分界点处导数值存在.

若分段函数在各开区间内可导，就用初等函数求导的方法分别求出它在各开区间内的导数，而在分段点处的可导性的讨论则要特别注意：①若函数在处不连续，则它在处不可导；②若函数在处连续，则它必须用导数的定义判断函数在是否可导，若可导，则可进一步得到它在的导数.

4 分段函数的连续性和可导性

该引理说明了连续是可导的必要条件，函数在某点处不连续则必不可导.因此，对分界点处是否可导应先判断是否连续.

[注]研究分段函数可导性(连续性)时，分界点需要特别考虑.

5 分段函数的不定积分

6 分段函数的定积分

6.1 分段连续函数的定积分的计算

对分段定义连续函数的定积分，可根据定积分的性质，对定积分区间分段计算求出.

则有下式成立：

其中令

则

6.2 分段有界非连续函数定积分的计算

定积分理论中对有界非连续函数的可积已有完整的结果.

我们应用这些结果对有界非连续分段函数的定积分的计算进行如下研究.

6.2.1 分段有界有有限个间断点的函数

6.2.2 分段有界有无限个间断点的函数

上可积，并求其积分值.

证明：

.........

[1]吴良献.数学分析习题精解［M］.北京:北京科学出版社，1999

[2]郑隆炘.高等师范数学教育研究［M］.武汉：华中科技大学出社，2001

[3]杜伯仁.高等数学习作课精编［M］.北京:国防工业出版社，2001

G642.3

A

JL01-0229（2013）04-0001-06

2013-10-15

责任编辑：杨国庆

校对：李晓霞

任伟和（1984-），男，汉族，河北邢台人，公共教学部，教师，主要从事高等数学教学研究。