高中数学概念课教学初探

●潘洪艳

《高中数学标准》指出：高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质，数学课程要讲逻辑推理，更要讲道理，通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的思想方法，追寻数学发展的历史足迹，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态。下面结合概念教学的一般过程，谈谈笔者在数学教学中的一些体会。

一、引入概念时创设情境

（一）用实例、实物或故事引入概念

形成数学概念的首要条件是使学生获得十分丰富且合乎实际的感性材料。在进行概念教学时，要让数学与学生的现实生活密切结合，使学生感受到数学是活的，是富有生命力的。这样不仅有利于学生对于所研究对象的感性认识，在此基础上认识其本质，还能促进数学直觉的形成，数学思维的发展，更能激发学生思考和创造的源泉。同时，在现实问题的解决中发现的数学概念、形成的数学思想方法，更能促进学生在以后遇到相关问题时自觉地运用有关的数学经验去思考、解决问题。

例如，在学习《向量的加法》时，教师借助多媒体动态演示学生熟悉的情景：①今年春节探系，台湾的李先生先从台北到香港，再从香港到上海，这两次位移之和是什么？ ②在一条河上，两拖船牵引一艘驳船从A到B，牵引力分别为3000 牛和1500 牛，牵绳之间的夹角为60°，再用一条拖船牵引从A 直接到B，让学生求这艘拖船的牵引力；又如学习《函数的单调性》时，可先让学生观察某一段时间内温度的变化图像，近一段时间内济南市的地下水位变化图像等生活实际问题引导学生发现研究函数单调性的必要；再如认识棱柱、棱锥、棱台时，可拿出模型让学生分析结构特征，抓住其本质，建立概念。还有学习《指数函数》时，可以让两个学生演个短剧：杰米碰到一个叫韦伯的人，韦伯对他说：“我想和你订个合同，我将在整整一个月内每天给你十万元，而你第一天只需给我一分钱，以后每天给我的钱是前一天的两倍”杰米非常高兴，合同生效了。全班同学一起用计算器帮杰米算每天的支出，却发现第31天杰米要付给韦伯1000多万元！这样引入，让学生体会到生活中的指数函数，而且还感受到了当底数大于1 时指数函数的增加速度，体会指数爆炸。

这些设计，不仅使引出新概念水到渠成，而且让学生依据已有的材料和知识做出符合一定经验与事实的推测，使学生经历数学家发现概念的最初阶段，容易激发学生的探索欲望。同时，也体现了新《数学课程标准》中“内容的呈现应采用不同的表达方式，以满足多样化的学习需求”这一理念要求。

（二）让学生亲自做试验，体验概念

在教学中可借助富有探究性、挑战性的问题，让学生在试验中亲自体验数学概念，通过自己的思考建立起对概念理解，逐渐认识概念本质。如研究“几何概型”时，可让学生亲自作转盘游戏，游戏规则：把一个质地均匀的转盘的圆周12 等分，按1:2:2:3:4的比例标上五种奖品的名称，随机转动一下，当指针指向这段弧时，就可以获得这份礼物，如果指针恰好指向两端弧的交点，以该点右侧奖品为准。让学生在游戏中了解到指针指向转盘圆周上每一点的可能性都是一样的，而“指针指向某奖品区A的弧上一点”这一事件发生的概率只与A的几何度量成正比，而与A的位置和形状无关，从而顺利理解几何概型的概念。

研究椭圆概念时，可以同位两人合作，一位同学在一张纸上按住长为2a的绳的两端点，并让两端点之间距离为2c（2c＜2a），另一位同学用笔把绳拉紧，使笔尖在纸上慢慢移动一周，画出椭圆；也可以根据问题：定点A（-2,0），P 为圆C：（x-2）2+y2=25 上一动点，P 与A 连线的垂直平分线与PC 相交于M，求点M的轨迹方程。设计如下试验：在一张圆形纸片内找不同于圆心C的一点A，折叠纸片，使圆周上有一点与点A 重合，折叠多次，形成一系列折痕，让学生动手后观察自己折叠出来的折痕围成一条什么曲线，并探究本质特征：曲线上的点到定点C和点A的距离和等于半径，从而形成概念，研究双曲线概念时可同学两人合作利用拉链绘出曲线，也可仿照椭圆借助问题：定点A（-2，0）,P 为圆C：（x-2）2+y2=1 上一动点，P 与A 连线的垂直平分线与PC 或PC的延长线交于点M（PC 与PA 不垂直），求点M的轨迹方程，设计试验：在纸上画圆C，并在圆外取一点A，在圆C的圆周上任取一点P，对折纸张，使点P 与点A 重合，连结PC（或CP）并延长交折痕与点M，在圆周上任取其他点，重复上述步骤约5-6 次，观察点M 连成的曲线，探究本质，发现：││MC│-│MA││=r（r 为该圆半径）。在试验探究的过程中，由学生亲身体验形成的概念会让学生理解更深刻，记忆更牢固，兴趣更浓厚。

（三）在学生原有的基础上引入新概念

（四）数学本身内在需要引入概念

中学数学的有些概念是为了解决数学内部的问题而引入的，如为了解决x2=-1的解而引入了复数的概念，为了确定两条异面直线的位置而引入了两条异面直线的成角和距离等。这时不妨从问题出发，创设情境，让学生在认知冲突中激发求知欲望。

二、形成概念时探索交流

形成概念是概念教学中至关重要的一步，是通过对具体事物的感知、辨别而抽象概括的过程，这个过程应该通过学生自主探究去完成，用自己的头脑亲自去发现事物的本质属性或规律，进而获得新概念。

如《向量的加法》这一节，在学生对具体、直观问题的观察、体验中形成了对向量加法概念的感性认识，而且自然地得出：向量可以进行加法运算，两向量的和仍是一个向量以后，教师可仍不急于给出定义，而是把探求新知的权利交给学生，让学生根据上述两个实例，自己抽象概括出定义，鼓励学生大胆发表自己的见解。这时，会有学生用三角形法则定义，也会有学生用平行四边形法则定义，在语言叙述上也不会很清楚。但在讨论交流中，学生会迫切地想知道：向量的加法到底如何定义呢？此时再让学生带着问题阅读课本中的定义，完善自己的想法。教师进行多媒体演示，帮助学生理解，同时渗透数形结合、分类讨论思想。由于创设的情境是学生熟悉的，提出得问题正处于学生的“最近发展区”内，而且在解决过程中答案不一，互有争论，从而大大激发了学生在获取新知过程中主动创造的潜能。

在概念的形成中教师要努力创造条件，给学生提供自主探索的机会和充分的思考空间，让学生在观察、操作、实验、归纳和分析的过程中亲自经历概念的形成和发展过程，进行数学的再发现、再创造。

三、表述概念时必须准确

概念形成之后，应及时让学生用语言表述出来，以加深对概念的印象，促进内化。语言作为思维的物质外壳，教师可从学生的表述中得到反馈信息，了解、评价学生的思维结果，由于数学概念是用科学的、精练的数学语言概括表达出来的，它所揭示事物的本质属性必须确定、无矛盾、有根有据并合情合理。因此培养学生正确的表述概念，能促进学生思维的深刻性。

四、巩固概念运用变式

巩固是概念教学的重要环节，巩固概念，首先应在引入、形成概念后，引导学生正确复述，其次要运用变式加深理解，所谓变式，就是使提供给学生的各种感性材料不断变换其表现形式，使非本质属性时有时无，而本质属性保持恒在。恰当运用变式，能使思维不受消极定势的束缚，实现思维方向的灵活转换，使思维呈发散状态。

初步形成的概念，巩固程度差，易受相近概念的干扰，适时利用变式训练有助于纠正学生的思维偏差。学生在感知立体几何图形的过程中，往往会受到图形的一些非本质属性的影响，把画在黑板上或书上的标准图形看作本质属性。如将正三棱锥S-ABC 画成A-SBC 时，学生易错误地说它不是正三棱锥。因此利用变式图形，如呈现若干个位置或大小不同的正三棱锥，让学生观察辨认，就有利于克服感知图形时的消极影响，帮助学生从方位和量的比较中引起对知识更为深刻的正面思考，使获得的概念更精确、更稳定。

当学生初步理解概念后所进行的巩固应用练习也应注意适度的“变式”，如学完直棱柱后，可让学生判断下列说法是否为直棱柱：棱柱有一条侧棱与底面垂直；棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直；棱柱有一侧面是矩形，且与底面垂直；棱柱有两个侧面是矩形，且与底面垂直；然后再让学生思考：四棱柱、平行六面体、长方体、正方体、直平行六面体、直四棱柱之间的关系。这样既梳理巩固了知识，又培养了学生联想、综合、类比等能力，符合知识建构和多方面发展的要求。例如异面直线概念的教学，结合图形变式，可用下列变式进行辨析训练：分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？在空间不相交的两条直线一定是异面直线吗？两条异面直线指的是某平面内的一条直线和这平面外的一条直线吗？分别和两条异面直线a、b 同时相交的两直线c、d 一定是异面直线吗？

这样，在教学中设计对比鲜明的变式，使学生在近中求异，在错综复杂的联系中，多角度、深层次分析问题，发现概念的本质，加深对概念的理解。

五、运用概念时联系实际

培养学生的实践能力对于提高学生的创造力起着至关重要的作用，只有积极参与实践，才能发现新问题，提出新见解、新思想、新方法，才能把握创造的机会进行成功的创造，提高创新能力，让学生用学到的数学概念解决日常生活中的实际问题，是概念教学中培养学生应用意识的有力手段。

概念的形成是一个由特殊到一般的过程，而概念的运用是一个由一般到特殊的过程，它们是学生掌握概念两个阶段。通过运用概念解决实际问题，可以加深、丰富和巩固学生对数学概念的掌握，并且在概念的运用过程中培养学生的实践能力。

综上所述，新课改理念下的数学概念教学，是按照人类认识科学的一般规律和途径：发现问题——形成猜想——演绎结论——应用拓展来进行的，让学生经历这样一个过程，不但能使学生逐步掌握概念的本质，还能使学生感受到探究与合作的无限快乐，感觉到自己精神、智慧力量的增长，使学生的个性得到充分的发展。