数学课堂教学的认知策略例说

谢家先

【摘要】 如何培养对数学规律的探索，加强对数学知识的认知，通过“观察-操作-概括”、“自学-讨论-发现”、“示范-理解-创新”来提高学生在认知过程中的兴趣，提高学生的数学观念、数学能力与数学素养.

【关键词】 动手实践；自主探索；合作交流；创新实践

《数学课程标准》指出：“动手实践，自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式. ”特别强调关注学生的发展，关注学生的学习过程，改善学生的学习方式，培养学生主动参与，乐于探究，勤于动手的良好习惯. 教师要改变课堂教学观念，探讨教学策略，使学生在探索、实践、合作交流中进行数学思考，解决数学问题. 教学策略是在特定的教学情境中完成教学目标和适应学生的认知需要而制定的教学程序计划和采取的教学措施，它既有观念功能又有操作功能. 认知策略则是教学策略的核心，针对学生的认知水平和教材内容，精选认知策略，是取得好的教学效果的首要条件，本文结合笔者教学实践，介绍数学课堂教学中几种常见的认知策略.

一、当教材内容的组织具有从直观（感性）到抽象（理性）的特点，且以直观启发为主，应采取“观察-操作-概括”的策略

在“等差数列前n项和”一节教学中，求和公式的导出是较为抽象的，它既是本节的重点，也是本节的难点，教材上通过著名数学家高斯10岁时巧算1 + 2 + 3 + … + 100 = ？的例子成功地化解了这一难点，帮助学生完成了由感性到理性的認识上的飞跃，对这一节教材我们也这样处理：

设{an}是一个正项的等差数列，它的前n项和可以被解释为右图中图形的面积，这个图形是一些底宽为1，高分别为a1，a2，…，an的小矩形拼接而成的，求Sn相当于求图形的面积，怎样求这块图形的面积呢？让学生进行充分的观察和操作（可以利用剪刀剪拼）. 学生经过试验后发现有多种剪拼割补的方法求出这块图形的面积（实际上得出了求和公式的多种推导方法），其中较简单的方法是剪出一块同样大小的图形，把它“倒”过来“合”在原图上就拼成了一个矩形，显然这个矩形的面积等于n（a1 + an），从而有Sn = ■n（a1 + an），这种方法形象地展示了“倒序”相加法中的“倒写”与“相加”，使学生清楚地触摸到推导过程中所蕴含的割补思想和化归思想，深刻地促成了学生从感性到理性的认识上的飞跃.

福慧双修是沟通具体到抽象、感性到理性的一座桥梁，在数学教学中创设恰当的问题情境，使学生动手实验，观察归纳，既可打破沉寂的课堂教学气氛，也为顺利构建认知结构奠定了良好的直观思维的背景，同时也培养了学生“做数学”的实践能力.

二、当教材内容的组织具有从已知（旧知）到未知（新知）的特点，且以精讲启发为主时，应采取“自学-讨论-发现”的策略

现代认知心理学理论认为：学习是认知结构的组织和重新组织. 学生的数学学习过程是原有的数学知识结构与新知相互作用产生同化和顺应的过程. 因此，教师应把数学教学的内容能动地进行加工、整理. 创设切合学生数学学习心理水平的最近发展区，诱发和促进学生积极的思维活动.

“二次函数y = ax2 + bx + c（a ≠ 0）的图像和性质”一节是在上一节二次函数y = ax2的图像和性质的基础上进行学习的，可采取“自学-讨论-发现”的策略来进行. 教师可出示下列自学讨论提纲：

1. 复习：说出二次函数y = ax2的图像和性质；

4. 函数y = ax2 + bx + c与y = ax2的图像的形状、顶点、对称轴和相对位置如何？要解决这个问题，事先应做什么工作？

5. 你能仿照y = ax2的性质，总结出y = ax2 + bx + c的性质吗？

在学生自学讨论的过程中，教师应注意根据学生自学情况进行精讲启发，本节课精讲的应是问题的后两问.

一组“阶梯式”的问题，从简单到复杂，从特殊到一般，使学生已知的旧知成为了未知的新知的铺垫，在讨论中，学生的认知沿着老师设好的阶梯拾级而上，最后学生达到一个“欲罢不能”的状态，此时老师适时的启发，精练的讲解定会产生很好的效果！这种教学策略，既符合学生的认知心理，又能有效引导学生的思维向纵深发展.

三、当教材内容的组织具有范例（个例）到通类（一般）的特点，且以范例启发为主时，应采取“示范-理解-创新”的策略

新教材中有下列范例：

在边长为60 cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？这是一道由实际问题建立数学模型并利用均值不等式求最值的范例，教师在示范后引申提出下列问题：

用一张长40 cm，宽20 cm的长方形铁皮，制作成一个深5 cm的长方形无盖盒子，列举你的一些制作方法加以比较，这个长方体的容积y的最大值是多少？

最后一种方法得到的长方体的容积是否一定最大？有没有另一种制作方法得到的长方体容积更大？要回答这个问题，就必须依赖于对范例的理解，建立数学模型然后求解.

例题是数学知识的载体，是教学内容的延续和深化，例题教学不能就题论题，教师应借助例题的示范作用，在学生充分理解例题的基础上，“小题大做”或“借题 发挥”，通过对例题的改编、引申，引导学生进行研究性学习，培养学生探究能力和合作精神，实施创新教育，这是新时期我们每个数学教师必须面对的一个崭新课题.

总之，如何使学生通过数学的学习，在数学思想方法和数学素养方面受到更多的减免效益，完全取决于执教者根据学生的认知特点. 制订符合学情的认知策略，揭示数学问题的形成、获得和应用过程. 整体而全面地把握知识，将蕴藏在数学教材中丰富的知识结构和精深的数学思想方法概括、提炼出来，给学生以熏陶和启迪，就会不断提高学生的数学认知水平，促进学生对数学观念、方法和策略的逐步到位，数学观念、能力与素养的逐渐提高.

【参考文献】

[1]周军，著.教学策略.北京：教育科学出版社，2003.

[2]刘兼，孙晓天，主编.数学课程标准解读.北京：北京师范大学出版社，2002.