数列中的易错点剖析

祁居攀

数列是函数概念的继续和延伸，在中学数学与高等数学中起着承上启下的作用，也是进一步学习高等数学的基础，但在平时的学习中同学们往往对定义、概念的理解不透，对公式、性质应用不熟而导致错误，本文对数列中的几个易错点加以剖析，希望从纠错中得到进一步的提升，以培养学生严谨的学习态度和良好的学习习惯.

一、概念理解错误

例1 设数列{an}中，S1=1，S2=2，Sn+1-3Sn+2Sn-1=0（n≥2）判断{an}是不是等比数列.

解题思路：∵Sn+1-3Sn+2Sn-1=0（n≥2）

∴Sn+1-Sn=2（Sn-Sn-1），即an+1=2an（n≥2）

an+1an=2（n≥2）又a1=S1=1，a2=S2-S1=1，a2a1=1≠2所以不是等比数列.

失分警示：忽视a1与an（n≥2）关系，由an+1an=2（n≥2）直接判断成{an}是等比数列.

纠错心得：错误的原因是在对n的范围限制的遗漏，以及对等比数列的定义理解不透彻，从an+1an=2（n≥2）来看，反映的是数列{an}从第3项开始后一项与前一项的比是常数，而等比数列的定义是从第2项开始，后一项与前一项的比是常数，故需讨论a1与an（n≥2）关系.

二、定义应用错误

例2 “b2=ac”是“a，b，c成等比数列的 条件（从充分非必要、必要非充分、充要、既非充分也非必要中选）.

正确解析：当a=b=c=0时，满足条件b2=ac，但它们不能构成等比数列；当a，b，c构成等比数列时，有b2=ac，由此“b2=ac”是“a，b，c成等比数列”的必要非充分条件.

错因分析：忽视等比数列的首项及公比不为零而错填充要条件.

纠错心得：因思考不严密，漏掉了特例对结论的影响，忽略了等比数列是由后一项与前一项的比为定值来定义的，即等比数列的任一项都是非零值.比例式化为乘积式成立，反之乘积式化为比例式时，应注意取值为零时不能转化这一特例.

三、性质应用错误

例3 在由正数组成的等比数列{an}中，设x=a5+a10，y=a2+a13则x与y的大小关系是 .

解题思路：x-y=a1q（1-q3）（q8-1）.当q=1时，x=y；

当q>1时，1-q3<0而q8-1>0，x-y<0；当q<1时，1-q3>0而q8-1<0，x-y<0；

错因分析：误区1：错用等比数列性质，∵5+10=2+13，∴a5+a10=a2+a13

误区2：∵x-y=a1q（1-q3）（q8-1），而1-q3，q8-1的符号随q与1的大小关系的变化而变化的，即x-y的符号不确定.

四、通项公式应用错误

例4 Sn是数列{an}的前n项的和，已知Sn=2n，求数列{an}的通项公式.

解题思路：当n=1时，a1=S1=2；

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1.由于n=1时，不符合上式，

所以数列{an}的通项公式是an=2，n=1，2n-1，n≥2.

错因分析：由和的通项公式求项的通项公式时，易忽视n=1的情况，直接得出an=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1.导致错误.

纠错心得：由数列{an}的前n项和的条件求数列{an}的通项公式，一般要分n=1与n≥2进行讨论，即由数列的前n项和Sn得出an的关系式：an=S1，n=1Sn-Sn-1，n≥2.若n=1也符合n≥2时的式子，则可以合并成一个通项公式；如果不能合并，则按分段的形式给出结论.

五、前n项和公式应用错误

例5 若两个数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn且满足SnTn=3n+24n-5，则a5b5= .

错因分析：公差不为零的等差数列的和式是二次式an2+bn，对Sn的形式理解不够，出现了由SnTn=3n+24n-5得出Sn=（3n+2）k，Tn=（4n-5）k，进而出现了a5=S5-S4=3k，b5=T5-T4=4k，a5b5=3k4k=34这样的错误.

正确解析：解法一 SnTn=3n+24n-5得出Sn=（3n+2）nk，Tn=（4n-5）nk，

则a5=S5-S4=29k b5=T5-T4=31k 故a5b5=29k31k=2931

解法二 a5b5=9a59b5=9（a1+a9）29（b1+b9）2=S9T9=3×9+24×9-5=2931.

纠错心得：公差不为零的等差数列，其前n项的和是关于n的二次函数，所以在设公差时，注意将前n项和还原成二次函数，另外，应注意等差数列求和公式的一个变形：S2n-1=（2n-1）an在解题中的应用.

六、忽视公比为“1”的情况导致错误

例6 设x∈R且x≠0，求数列{（n-1）xn}的前n项的和Sn.

正确解析：∵x∈R且x≠0 ∴对x可分以下两种情况讨论：

当x=1时，Sn=0+1+2+3+…+（n-1）=n（n-1）2

当x≠1时，Sn=0·x1+1x2+2x3+3x4+…+（n-1）xn，①

xSn=0·x2+1x3+2x4+3x5+…+（n-1）xn+1，②

由①-②得（1-x）Sn=x2+x3+x4+x5+…+xn-（n-1）xn+1=x2-xn+11-x-（n-1）xn+1，

∴Sn=x2-nxn+1+（n-1）xn+2（1-x）2

综上所述，当x=1时，Sn=n（n-1）2；当x≠1时Sn=x2-nxn+1+（n-1）xn+2（1-x）2

错因分析：本题易忽视当x=1时，Sn=1+2+3+…+n-1=n（n-1）2的情况而导致漏解.

纠错心得：利用错位相减法求和时，等式两边同乘以公比q，若无法判断q的取值时，应分q=1和q≠1两种情况讨论，以防出错.

七、单调性应用错误

例7 已知{an}是递增数列，且对任意n∈N都有an=n2+λn恒成立，则实数λ的取值范围是 .

解题思路：∵{an}是递增数列，∴an+1>an即（n+1）2+λ（n+1）>n2+λn ∴λ>-2n-1对于n∈N恒成立，而-2n-1在n=1时取得最大值-3，∴λ>-3

错因分析：an=n2+λn=（n+λ2）2-λ4，对称轴n=-λ2，当n≥1时为递增数列，则-λ2≤1从而得λ≥-2.

纠错心得：数列是特殊的函数，可以用动态函数的观点研究数列，但必须时刻注意其“特殊”性，即定义域为n∈N.

八、审题错误

例8 等差数列的首项为24且从第10项起才开始为负，则其公差的取值范围是 .

正确解析：由条件a10<0a9≥0即24+9d<024+8d≥0所以-3≤d<-83.

错因分析：对等差数列的单调性理解不够，而出现错误.

由a10<0，即24+9d<0，得d<-83.

纠错心得：本题的错因是没有正确理解题意，从第10项起才开始为负，隐含条件是前面的项应该为非负数，易知其公差是小于零的，即为递减数列，由相邻项a9、a10符号组成不等式组的解才是正确的解.