高三数学模拟试卷（三）

本刊试题研究组

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.

1.设集合A={x|x=5-4a+a2，a∈R}，B={y|y=4b2+4b+2，b∈R}，则A，B的关系是 .

2.已知x∈R，i为虚数单位，若（1-2i）（x+i）=4-3i，则x的值等于 .

3.某路段属于限速路段，规定通过该路段的汽车时速不得超过70km/h，否则视为违规扣分.某天，有1000辆汽车经过了该路段，经过雷达测速得到这些汽车运行时速的频率分布直方图如图所示，则违规扣分的汽车大约为 辆.

4.（1+tan10°）（1+tan12°）（1+tan33°）（1+tan35°）= .

5.某商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过500元，不享受任何折扣，如果顾客购物总金额超过500元，则超过500元部分享受一定的折扣优惠，按下表折扣分别累计计算：

可以享受折扣优惠金额折扣率

不超过500元的部分5%

超过500元的部分10%

某人在此商场购物获得的折扣金额为35元，则他购物实际所付金额为 元.

6.已知△ABC中，AB边上的高与AB边的长相等，则ACBC+BCAC+AB2BC·AC的最大值为 .

7.等腰Rt△ABC中，斜边BC=42，一个椭圆以C为其中一个焦点，另一个焦点在线段AB上，且椭圆经过A，B两点，则该椭圆的离心率为 .

8.点P在曲线y=x3-x+23上移动，在点P处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是 .

9.已知点Q∈（x，y）x2+y2<8x+6y3x+4y>24，如果直线l：ax+y+2=0经过点Q，那么实数a的取值范围是 .

10.设函数f（x）=sin（x+φ）（>0，-π2<φ<π2），给出以下四个论断：

①它的图像关于x=π12对称；

②它的图像关于点（π3，0）对称；

③它的周期是π；

④在区间[-π6，0）上是增函数.

以其中两个论断作为条件，余下论断作为结论，写出一个你认为正确的命题： .

11.已知函数f（x）=|lg|x||，（x≠0）0，（x=0），则方程f2（x）-f（x）=0所有非零实根之积为 .

12.若数列{an}满足a1=2，a2=1，且an+1（an-1-an）=an-1（an-an+1）（n≥2），那么该数列的第10项为 .

13.P为半径为1的圆外一点，过P引圆的两条切线，切点为A、B，则PA·PB的范围为 .

14.已知函数f（x）=ax3-3x+1对于x∈（0，1]，总有f（x）≥0成立，则a的范围为 .

二、解答题：本大题共6小题，共计90分.

15.（本小题满分14分）

如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=a，AA1=2a，点D为BC的中点，点E为CC1上的点，且CE=14CC1.

（1）求三棱锥BAB1D的体积；

（2）求证：BE⊥平面ADB1.

16.（本小题满分14分）

（1）已知p在[0，5]上随机地取值，求方程x2+px+p4+12=0有实数根的概率.

（2）先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b.设函数f（x）=|x-a|，函数g（x）=x-b，令F（x）=f（x）-g（x），求函数F（x）有且只有一个零点的概率.

17.（本小题满分15分）

某航模兴趣小组的同学，为了测定在湖面上航模航行的速度，采用如下办法：在岸边设置两个观察点A、B，且AB=80米，

当航模在C处时，测得∠ABC=105°和∠BAC=30°，经过20秒后，航模直线航行到D处，测得∠BAD=90°和∠ABD=45°.请你根据以上条件求出航模的速度.（答案保留根号）

18.（本小题满分15分）

已知数列{an}满足an>0，a1=1，且3a2n+1-2an+1-3a2n-2an=0，n∈N.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）令Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5，…，a2na2n+1，求Tn；

（3）令bn=1an-1an（n≥2），b1=3，Sn=b1+b2+…+bn，若Sn

19.（本小题满分16分）

已知椭圆的中心在原点，准线方程为x=±4.如果直线l：3x-2y=0与椭圆的交点在x正半轴上的射影恰为椭圆的焦点.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线l与椭圆在第一象限的一个交点为P，F是椭圆的右焦点，试探究以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系；

（3）把（2）的情况作一推广，提出如下问题：如果椭圆的方程是x2a2+y2b2=1（a>b>0），P是椭圆上的任意一点，F是椭圆的一个焦点，试探究以PF长为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系.

20.（本小题满分16分）

设函数f（x）=lnx-x-1x（x≥1），g（x）=2（x-1）-（x2+1）lnx（x≥1）.

（1）求证：f（x）和g（x）在[1，+∞）上均为减函数；

（2）设b>1，证明不等式：2b2+1

数学Ⅱ（附加题）

1.已知变换T把平面上的点A（2，0），B（3，1）分别变换成点A′（2，1），B′（3，2），试求变换T对应的矩阵M.

2.经过曲线C：x=3+3cosθ，y=3sinθ（θ为参数）的中心作直线l：x=3ty=3t（t为参数）的垂线，求中心到垂足的距离.

3.已知数列{an}的各项都是正数，且满足：a0=1，an+1=12an·（4-an），n∈N.

（1）求a1，a2；（2）证明an

4.（本小题满分10分）

已知an=A1n+A2n+A3n+…+Ann（n∈N），当n≥2时，求证：

（1）an-1+1=ann；

（2）（1+1a1）（1+1a2）（1+1a3）…（1+1an）≤3-1n.

参考答案

1. A=B； 2. 2； 3. 110； 4. 4； 5. 1065；

6. 22； 7. 6-3； 8. [0，π2）∪[3π4，π）；

9. （-∞，-14）； 10. ②③①④； 11. 1；12. 15； 13. [22-3，+∞）； 14. [4，+∞）.

15.（1）解：∵AB=AC=a，∠BAC=90°，点D为BC中点，B1B=C1C=A1A=2a，CE=14CC1=a2.

∴S△ABD=12S△ABC=12（12AB·AC）=14a2，

∴VBAB1D=VB1ABD=13S△ABD·BB1=13·14a2·2a=16a3.

（2）证明：由AB=AC，点D是BC的中点，

得AD⊥BC且B1B⊥平面ABC，则B1B⊥AD，从而AD⊥平面B1BCC1.

又BE平面B1BCC1，所以AD⊥BE.

由已知AB=AC=a，∠BAC=90°，得BC=2a.

在Rt△BB1D中，tan∠BB1D=BDBB1=12BCBB1=24.

在Rt△CBE中，tan∠CBE=CEBC=a22a=24.

于是∠BB1D=∠CBE，设EB∩DB1=G，

∠BB1D+∠B1BG=∠CBE+∠B1BG=90°，

则DB1⊥BE.又AD∩DB1=D，

故BE⊥平面ADB1.

16.解：（1）由Δ=p2-4（p4+12）≥0得p≤-1或p≥2

又p∈[0，5]

∴p∈[2，5]

∴方程有实数根的概率为35.

（2）先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b，事件总数为6×6=36.

∵函数F（x）有且只有一个零点

∴函数f（x）=|x-a|与函数g（x）=x-b有且只有一个交点

所以b

∴满足条件的情况有a=2，b=1；a=3，b=1，2；a=4，b=1，2，3；a=5，b=1，2，3，4；a=6，b=1，2，3，4，5.共1+2+3+4+5=15种情况.

∴函数F（x）有且只有一个零点的概率是1536=512

17.解法一：在△ABC中，∵∠BAD=90°，∠ABD=45°，∴∠ADB=45°

∴AD=AB=80，∴BD=802

在△ABC中，BCsin30°=ABsin45°

∴BC=ABsin30°sin45°=80×1222=402

在△DBC中，∠CBD=∠ABC-∠ABD=105°-45°=60°，DC2=DB2+BC2-2DB·BCcos60°=（802）2+（402）2-2×802×402×12=9600

∴DC=406

航模的速度V=40620=26（米/秒）

答：航模的速度为26（米/秒）.

解法二：在△ADC中，AD=80，△ABC中AC=40（1+3），∠DAC=60°

在△ACD中，DC2=AD2+AC2-2AD·ACcos60°=9600

∴DC=406

航模的速度V=40620=26（米/秒）

答：航模的速度为26（米/秒）.

解法三：如图建立直角坐标系，

则A（0，0），B（80，0），D（0，80）

由△ABC，AC=40（1+3），∴C（60+203，20+203）

∴DC=（60+203）2+（20+203-80）2=9600=406

航模的速度V=40620=26（米/秒）

答：航模的速度为26（米/秒）.

18.解：（1）由3a2n+1-2an+1-3a2n-2an=0，变形得（an+1+an）（an+1-an-23）=0，

又an>0，则an+1-an=23

∴{an}是以23为公差的等差数列

又a1=1，∴an=23n+13

（2）Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…-a2na2n+1

=a2（a1-a3）+a4（a3-a5）+…+a2n（a2n-1-a2n+1）

=-43（a2+a4+…+a2n）

=-43·n（53+4n3+13）2=-49（2n2+3n）

（3）当n≥2时，bn=1an-1an=1（2n3-13）（2n3+13）=92（12n-1-12n+1）

又b1=3=92（1-13），

∴Sn=b1+b2+…+bn

=92（1-13+13-15+…+12n-1-12n+1）=92（1-12n+1）=9n2n+1

∴Sn

即9n2n+1

且9n2n+1<92.∴m-20042≥92，m≥2013.

∴最小正整数m=2013.

19.（1）设椭圆方程是x2a2+y2b2=1（a>b>0）.直线3x-2y=0与椭圆的一个交点的坐标是（c，3c2）代入椭圆方程得：c2a2+9c24b2=1，又a2c=4，a2=b2+c2，可解得a=2，b=3，c=1.所以椭圆方程为x24+y23=1.

（2）由（1）知，直线3x-2y=0与椭圆的一个交点的坐标是（1，32），F（1，0），则以PF为直径的圆的方程是（x-1）2+（y-34）2=916，圆心坐标为（1，34），半径为34.以椭圆长轴为直径的圆的方程是x2+y2=4，圆心坐标为（0，0），半径为2.圆心距为54=2-34，所以两圆内切.

（3）设P是椭圆上的任意一点，F是椭圆的一个焦点，F′是椭圆的另一个焦点，则有|PF|+|PF′|=2a.以PF为直径的圆的圆心是M，⊙M的半径为12|PF|，⊙O半径为a，两圆圆心距为|OM|=12|PF′|=a-12|PF|，所以两圆相切.

20.（1）因为f′（x）=1x-x-（x-1）·12xx=-（x-1）22xx，

当x∈[1，+∞）时，f′（x）≤0，且不恒为零，所以f（x）在[1，+∞）上为减函数.又g′（x）=-[2xlnx+（x-1）2x]，当x∈[1，+∞）时，2xlnx≥0，（x-1）2x≥0，所以g′（x）≤0，且不恒为零，所以g（x）在[1，+∞）上为减函数.综上可知，f（x）和g（x）在[1，+∞）上均为减函数.

（2）因为b>1，又f（x）在[1，+∞）上为减函数，所以f（b）2b2+1②，由①②可得2b2+1

附加题

1.解：设M=abcd，则有M：

20→x′y′=abcd·20=2a2c=21，解得a=1c=12；

M：31→x′y′=abcd·31=3a+b3c+d =32，

解得b=0，d=12；综上，M=101212.

2.解：由曲线C的参数方程

x=3+3cosθ，y=3sinθ消去参数θ，

得（x-3）2+y2=9.

曲线C表示以（3，0）为圆心，3为半径的圆.

由直线l的参数方程x=3ty=3t，

消去参数t，得y=33x.

表示经过原点，倾斜角为30°的直线.

如图，在直角三角形OCD中，OC=3，∠COD=30°，

所以CD=32.所以中心到垂足的距离为32.

3.解：（1）a0=1，a1=12a0（4-a0）=32，a2=12a1（4-a1）=158，

方法一：用数学归纳法证明：

1°当n=0时，a0=1，a1=32，∴a0

2°假设n=k时有ak-1

则n=k+1时，

ak-ak+1=12ak-1（4-ak-1）-12ak（4-ak）

=2（ak-1-ak）-12（ak-1-ak）（ak-1+ak）

=12（ak-1-ak）（4-ak-1-ak）.

而ak-1-ak<0，4-ak-1-ak>0，∴ak-ak+1<0.

又ak+1=12ak（4-ak）=12[4-（ak-2）2]<2.

∴n=k+1时命题正确.

由1°、2°知，对一切n∈N时有an

方法二：用数学归纳法证明：

1°当n=0时，a0=1，a1=32，∴0

2°假设n=k时有ak-1

令f（x）=12x（4-x），f（x）在[0，2]上单调递增，所以由假设有：f（ak-1）

即12ak-1（4-ak-1）<12ak（4-ak）<12×2×（4-2），

也即当n=k+1时，ak

所以对一切n∈N，有ak

4.解：（1）因为Akn=n！（n-k）！=n·（n-1）！[（n-1）-（k-1）]！=nAk-1n-1（2≤k≤n），

所以当n≥2时，ann=1n（A1n+A2n+…+Ann）

=1n[n+（nA1n-1+…+nAn-1n-1）]

=1+（A1n-1+…+An-1n-1）=1+an-1.

所以an-1+1=ann.4分

（2）由（1）得an-1+1an-1=annan-1，即1+1an-1=annan-1，

所以（1+1a1）·（1+1a2）·（1+1a3）·…·（1+1an）=a22a1·a33a2·a44a3·…·an+1（n+1）an

=an+1（n+1）！=1（n+1）！（A1n+1+A2n+1+…+An+1n+1）

=1n！+1（n-1）！+…+12！+11！+1

≤1n（n-1）+1（n-1）（n-2）+…+11×2+2

=（1n-1-1n）+（1n-1+1n-2）+…+（1-12）+2

=3-1n.10分

[另法：可用数学归纳法来证明1n！+1（n-1）！+…+12！+11！+1≤3-1n]