应用数形结合思想解题易错点分析

秦振

数形结合是一种重要的数学思想方法，是各种考试的必考内容.同学们在应用数形结合的数学思想解题时，常常因为未掌握其思想方法的精髓，而出现问题，下面就大家在解题中出现的错误分类辨析如下，供参考.

一、构建几何模型不正确

例1 向面积为S的矩形ABCD内任投一点P，试求△PBC的面积小于S4的概率.

错解：如图11所示，设△PBC的边BC上的高为PF，线段PF所在的直线交AD于E，则当P点到底边BC的距离小于12EF时，即0

分析：如图12所示，P为矩形ABCD内任投一点，△PBC的边BC上的高PF为矩形ABCD内任意线段，但满足△PBC的面积小于S4，当△PBC的面积等于S4时，即12BC·PF=14BC·EF，所以PF=12EF.过点P作GH平行于BC交AB于G，交CD于H.点P的轨迹是线段GH.满足条件“△PBC的面积小于S4”的点P应该落在矩形区域GBCH内，而不是△PBC内.错因是没有正确构造出随机事件对应的几何图形.

正解：如图12所示，设△PBC的边BC上的高为PF，线段PF所在直线交AD于E，

当△PBC的面积等于S4时，即12BC·PF=14BC·EF，所以PF=12EF.过点P作GH平行于BC交AB于G、交CD于H.

所以满足S△PBC=S4的点P的轨迹是线段GH.所以满足条件“△PBC的面积小于S4”的点P应该落在矩形区域GBCH内.设“△PBC的面积小于S4”为事件A，则A表示范围是（0，S2），即构成事件A的面积为S2，试验的全部结果所构成的区域面积为S，所以由几何概型求概率的公式，得P（A）=S2S=12.所以△PBC的面积小于S4的概率为12.

二、直观代替推理

例2 设b>0，椭圆方程为x22b2+y2b2=1，抛物线方程为x2=8（y-b），如图2所示，过点F（0，b+2）作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G，已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点F1.

（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；

（2）设A、B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得△ABP为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体指出这些点的坐标）.

错解：（1）椭圆方程和抛物线方程分别为x22+y2=1和x2=8（y-1）.

（2）因为过A作x轴的垂线与抛物线只有一个交点P，所以以∠PAB为直角的Rt△ABP只有一个.同理，以∠PBA为直角的Rt△ABP只有一个.所以抛物线上存在两个点使得△ABP为直角三角形.

分析：上述解法只从几何直观作出判断，这样有可能使得到的结果不全面而漏解.

正解：（1）略；

（2）因为过点A作x轴的垂线与抛物线只有一个交点P，所以以∠PAB为直角的Rt△ABP只有一个.

同理，以∠PBA为直角的Rt△ABP只有一个.

若以∠APB为直角，设P点坐标为（x，18x2+1），A、B两点的坐标分别为（-2，0），（2，0），PA·PB=x2-2+（18x2+1）2=164x4+54x2-1=0，因为关于x2的二次方程有一个大于零的解，所以x有两解，即以∠APB为直角的Rt△ABP有两个.

故抛物线上存在四个点使得△ABP为直角三角形.

三、作图失误

例3 求方程x2=2x解的个数.

错解：设y=x2，y=2x，在同一坐标系中画出它们的图象，如图21所示，观察图象可得y=x2，y=2x有两个交点，所以方程x2=2x有两个解.

辨析：显然x=2和x=4都是方程的解，而图31只有一个正解，其错因是作图不规范，造成漏解.

正解：设y=x2，y=2x，在同一坐标系中画出它们的图象，如图32，观察图象可得y=x2，y=2x有3个交点，∴方程x2=2x有3个解.

四、转化不等价

例4 求函数y=-1-4sinx1+2sinx的值域.

错解：因为y=-1-4sinx1+2sinx=1-4sinx-1-2sinx，设点P的坐标为（-1，1），动点Q（2sinα，4sinα），根据题意-1-2sinα≠0，故sinα∈[-1，-12）∪（-12，1].所以Q点在线段y=2x（x∈[-2，-1）∪（-1，2]）上移动.求函数y=-1-4sinx1+2sinx的值域可转化为求过定点P（-1，1）的直线与线段y=2x（x∈[-2，-1）∪（-1，2]）相交时，斜率k的取值范围.如图4所示.因为kPA=-4-1-2+1=5，kPB=4-12+1=1，所以1≤k≤5，即函数的值域为y∈[1，5].

分析：解题的思想方法没有问题，但是在求k的范围时，没有考虑它的连续性和存在性.根据斜率的性质，当Q点的横坐标为-1时，斜率不存在，显然以上结果不正确.

正解：根据题意，y=1-4sinx-1-2sinx=k，其中设点P的坐标为（-1，1），动点Q（2sinα，4sinα），根据题意-1-2sinα≠0，故sinα∈[-1，-12）∪（-12，1].所以Q点在线段AB：y=2x（x∈[-2，-1）∪（-1，2]）上移动.求函数y=-1-4sinx1+2sinx的值域可转化为求过定点P（-1，1）的直线与线段AB相交时，斜率k的取值范围.如图4所示.

（1）当过点P的直线垂直于x轴与线段AB相交，k不存在；

（2）当k存在时，kPA≤k<+∞，-∞

故函数y=-1-4sinx1+2sinx的值域为y∈（-∞，1]∪[5，+∞）.

五、数形结合意识差

例5 求函数f（x）=x2+2x+5+x2-4x+8的最小值.

错解：因为x2+2x+5=（x+1）2+4≥4，x2-4x+8=（x-2）2+4≥4，所以f（x）=（x+1）2+4+（x-2）2+4≥4+4=4，即函数的最小值为4.

分析：根据f（x）≥a，g（x）≥b.f（x）+g（x）≥a+b，当且仅当f（x）=a，g（x）=b.时，才有f（x）+g（x）=a+b.否则f（x）+g（x）>a+b.而此题不满足条件，因此得到的结果不正确.如果数形结合意识比较强，构建几何模型解决就比较容易.

正解：因为f（x）=（x+1）2+（0-2）2+（x-2）2+（0+2）2表示为x轴上的动点P（x，0）到两定点A（-1，2），B（2，-2）的距离之和，如图5所示.因为A、B两点在x轴两侧，

连结线段AB，|AB|的长就是函数的最小值.所以f（x）min=|AB|=（-1-2）2+[2-（-2）]2=5.

六、读图能力差

例6 已知电流I与时间t的关系为I=Asin（ωt+φ）.如图6所示，是在一个周期内的图象，根据图中数据求：

（1）I=Asin（ωt+φ）的解析式；（A>0，W>0，0<φ<π）

（2）如果t在任意一段1150秒的时间内，电流I=Asin（ωt+φ）都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？

错解：（1）由题意可得A=300，T=2（1180+1900）=175，故ω=2πT=150π.又当t=1180时，I=0即sin（150π×1180+φ）=0，得φ=kπ-56π（k∈Z），故I=300sin（150πt+π6）或I=300sin（150πt-5π6）.

（2）根据题意得周期的一半T2≤1150，即πω≤1150（ω>0），所以ω≥150π>4>1.又ω是整数，故ω的最小正整数为472.

分析：（1）在求初相φ时，在将“形”转化为“数”的过程中，把图象上一点坐标代入I=Asin（ωt+φ）中，可以得到关于φ的方程，但是在一个周期内可求出两个φ的值，导致无法取舍，所以取点时，取极值点可克服这一弊端.（2）题目给出的图象是函数的“任意一段”，而错解理解成“存在一段”，得到的结果就不一定正确了.

正解：（1）根据图象可得A=300.令t1=-1900，t2=1180，则周期T=2（t1-t2）=2（1180+1900）=175.故ω=2πT=150π.又t=1180-19002=1450时，I=300.即sin（150π×1450+φ）=1，π3+φ=π2+2kπ（Q0<φ<π），所以φ=π6.故I=300sin（150πt+π6）.

（2）根据题意，周期T≤1150，即2πω≤1150（ω>0），所以ω≥300π>942，又ω是正整数，故ω的最小正整数为943.