浅谈“错误再生资源”的教育价值

所谓“错误”，指认知过程中的偏差或失误.错误伴随教学过程的始终，只要有认识，就会有错误，错误中包含了认知个体大量的信息和已有的经验，客观地反映了个体的心理特点.而在学生眼里，“错误”意味着失败，意味着耻辱.很多学生把错误和耻辱联系在一起，值得注意的是认为错误是种耻辱的学生随着年龄的增加而增加.正因为如此，学生非常担心出错，甚至有学生会产生一种恐惧感.很多学生担忧出错会受到同学歧视，因而不敢在课堂上发言.而在一些教师眼中，也往往会认为学生的错误，是自己教学的不成功.

在新课程的大背景下，新课堂呼唤学生的“自主、合作、探究”，而真探究必然伴随大量错误的生成，课堂本来就是学生出错的地方，出错是学生的权利.华罗庚说过：“天下只有哑巴没有说过错话；天下只有白痴没有想错过问题；天下没有数学家没算错过题的.”学生出错是正常的，关键是我们怎样来对待错误.在教学中，我把学生的错误看成是难得的再生资源，并且加以运用，我们课堂也因错误而变得有意义，有生命力.

现就笔者对“错误再生资源”的教育价值谈谈自己的一些感受.

一、诱发错误，触发认知冲突，激发学习兴趣

建构主义学习观认为，学生的学习实际上是在与周围环境的相互作用过程中，通过同化和顺应逐步建构起关于外部世界的知识，从而使自身的认知结构得以发展的过程.在这一过程中，如果在新知识与原有的认知结构之间产生无法包容的矛盾，即存在认知冲突，将会引起学生认知结构上的不平衡，从而激起学生强烈的探索愿望和学习兴趣，促使他们自觉地解决认知冲突，促使他们的认知结构进行新的同化和顺应，以达到新的平衡.因此在教学中注意激发学生的认知冲突，有利于激发学生的认知需要，使学生的学习内驱力达到高峰.

例：函数y=1-x2与函数y=x+m图象有两个交点，求m的取值范围.

剖析：误将方程y=1-x2化简成x2+y2=1

由x2+y2=1y=x+m联立方程组得2x2+2mx+m2-1=0（*）

因为有两个公共点所以（*）方程有两解所以Δ>0解得-2

数形结合不难发现方程y=1-x2表示的图形为上半圆而非整个圆.

错解中在方程化简时就出错了，应化成x2+y2=1（y≥0）.这时应用数形结合来解决就更简单明了了.

“错误”引发了学生对以上问题的主动、积极的思考，极大地调动了同学们的思维热情，学生在“欲罢不能”的浓浓的探究氛围中开始了对新内容的学习.因此教师可以在课堂上有意制造一点“错误”，给学生一些“包袱”，触发认知冲突，活跃学生思维.

二、反思错误，优化思维过程，提高元认知水平

建构主义学习观认为，学生的错误不可能单独依靠正面的示范和反复的练习得以纠正，必须是一个“自我否定”的过程，而“自我否定”又以自我反省，特别是内在的“观念冲突”作为必要的前提.“元认知”就是指主体对于自身所从事的认知活动的自我意识、自我评价、自我调整.其涉及的对象不仅指具体的认知活动，而且包括整体性的认知结构和认知策略，这是思维活动的更高层次.利用学生错误资源，引发“观念冲突”，能促使学生对已完成的思维过程进行周密且有批判性的再思考.

例：Sn，Tn分别是等差数列{an}，{bn}的前n项和SnTn=7n+14n+27，求a11b11.

常规解法：2a112b11=a1+a21b1+b21=S21T21=43.

学生错解：令Sn=k（7n+1），Tn=k（4n+27），a11b11=S11-S10T11-T10=7k4k=74.如让其改为常规解法，很是可惜.指出错因：对等差数列Sn=an2+bn认识不足，应设Sn=kn（7n+1），Tn=kn（4n+27），a11b11=S11-S10T11-T10=148k111k=43.

剖析：通过纠错，不仅让学生明白错因，更对等差数列an=an+b，Sn=an2+bn的结构有了深入认识.

这必将引起学生的反思，寻找错误在哪里？从而促使学生对思维过程进行自我评价，自我调整，通过反思意识到“错误”的根本原因.因此，对已形成的认识从另一个角度，以另一种方式进行再思考，以求得新的深入认识，这既有利于问题的解决又培养了学生的反思能力，促进了学生元认知的发展.

三、巧用错误，培养发现意识，提高探究能力

“发现问题比解决问题更宝贵”，因此，培养学生发现意识，让学生会自主探究学习，成为新课程的重要目标之一.利用学生学习中出现的错误，也是培养发现意识，提高探究能力的有效途径.

例：求y=x+x2+1的值域.

正解：y-x=x2+1两边平方得2yx=y2-1，x=y2-12y.

∴y≠0y-x≥0（*）y-y2-12y≥0y2+1y≥0.

∴y>0.但绝大多数学生忽略了（*）式.

有一个学生给出如下解法：求式表示P（x，0）到A（0，1）和O（0，0）距离之和.

由图知P在O点时距离之和最小，y≥1.找来该生，首先高度肯定该思维的巧妙，同时指出错因：P（x，0）与原点距离是|x|.让其继续完善他的解法：x≥0同上y≥1；x<0，距离之和x2+1+|x|=x2+1-x>1，y=x+x2+1=1-x+x2+1∈（0，1）.∴y>0.完成本题学生异常兴奋，对数学兴趣更浓，后来在省数学竞赛中获二等奖.

由此可见，学生获得知识是要在不断的探索中进行的，在这个过程中，学生的思维方法是各不相同的，因此，出现偏差和错误是很正常的，关键是在于教师如何利用错误这一资源.本例中，从学生的现实学习中选取错例，充分挖掘错误中潜在的智力因素，创设一个自主探究的问题情境，引导学生从不同角度审视问题，让学生在纠正错误的过程中，自主地发现了问题，解决了问题，深化了对知识的理解和掌握，培养了学生的发现意识.

四、公式记忆出错，要再现公式来源

学生经常把降幂公式，记成：sin2θ=1-cos2θ2

sin2θ=1-sin2θ2，

sin2θ=1+cos2θ2.教师如果只让学生记忆公式，效果往往不好，只须让学生再从cos2θ=1-2sin2θ推导，公式便无须死记硬背.

五、概念不清，须举有力反例澄清错误

求函数的递增区间只须解y′>0即可，而y=f（x）在x∈[a，b]递增，则是y′≥0在x∈[a，b]恒成立.学生通常写成y′>0，错在哪里？只须举例y=x3，在R上递增，而y′=3x2≥0在R上恒成立.显然y′>0在R上恒成立是错误的.

从发展的角度来说，犯错误是学生特有的“权利”，可以说，学生是在错误中成长起来的.当然对待学生的错，我们不能坐视不理，越俎代庖，甚至横加指责.我们应树立“错误是一种再生资源”的理念，作为珍贵的教学资源，是可遇不可求的，也是稍纵即逝的.教师要敏于捕捉学生认知过程中的错误，使它成为教学的新契机.学情即课程，专家指出：“真正的教育技巧和艺术就在于，一旦有必要，老师就能随时改变课时计划.”教师要及时呈现错误，引起学生有意注意，但不必急于用教师的思想去“同化”学生，而是站在学生的立场去顺应他们的认识，在交流中剖析错误思想的来龙去脉，寻找错误背后隐含的教育价值，引领学生从错中求知，从错中探究.充分利用好这一珍贵的教学再生资源.

（作者：孟凡荣，江苏省溧水高级中学）