巧用整体思想求解数列问题

李志勤

整体思想是一种着眼于问题的整体结构，以统摄的方法抓住问题的全貌或本质的思想.由于数列本身就是一个特殊的整体，所以运用整体思想解数列问题，具有决定全局的重大意义，它使问题的解决进入到了一种无可比拟的胜境.

一、整体代入

把已知条件作为一个整体，直接代入或组合后代入所求的结论.

例1 （肇庆市2013届高三上学期期末）等比数列{an}中，a1+a2=20，a3+a4=40，则a5+a6等于 .

解析：a1+a1q=20a1q2+a1q3=40q2=2，a5+a6=a1q4+a1q5=q2（a1q2+a1q3）=80.

点评：本题的求解始终利用整体思想进行求解，根据前两项整体相除得到q2，再求解a5+a6时，把a1q2+a1q3看作一个整体，使得问题计算起来简单化.

例2 设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a6a4=711，则S11S7等于 .

解析：因为a1+a11=2a6，a1+a7=2a4，所以S11S7=11（a1+a11）27（a1+a7）2=11a67a4=11×77×11=1.

点评：本题求解利用等差数列的性质，结合整体代入思想进行求解.

二、整体求解

把所求的结论作为一个整体，由已知条件变形或计算便得.

例3 （2013宝山区2012学年第一学期期末）若数列{an}的通项公式是an=3-n+（-2）-n+1，则a1+a2+…+an= .

解析：因为a1+…+an=[13+（13）2+…+（13）n]+[1+（-12）+（-12）2+…+（-12）n-1]

=13（1-（13）n）1-13+1-（-12）n1-（-12）

=12-12（13）n+23-23（-12）n，

点评：在求解数列的和时，需要把数列分成两组数列，利用整体思想，分别构成等比数列，利用等比数列的求和公式求得结果.

三、整体转化

把求解的过程作为一个整体，寓整体于转化之中.

例4 （潮州市2013届高三上学期期末）等比数列{an}中a1=512，公比q=-12，记∏n=a1×a2×…×an（即∏n表示数列{an}的前n项之积），∏8，∏9，∏10，∏11中值为正数的个数是 .

解析：等比数列{an}中a1>0，公比q<0，故奇数项为正数，偶数项为负数.

∴∏11<0，∏10<0，∏9>0，∏8>0.

点评：解决本题需要根据等比数列的性质与已知条件，奇数项是负值，偶数项是正数，再结合∏n的新定义，确定数列的项数从而解决问题.

四、整体换元

把陌生的或复杂的式子进行整体换元，这是一种化生为熟、以简驭繁的解题策略.

例5 （上海金山区2013届高三一模）已知数列{an}满足a1=-67，1+a1+a2+…+an-λan+1=0（其中λ≠0且λ≠-1，n∈N*）.求数列{an}的通项公式an；

解：由题意1+a1+a2+…+an-λan+1=0，可得：

1+a1+a2+…+an-1-λan=0（n≥2），所以有

（1+λ）an-λan+1=0（n≥2），又λ≠0，λ≠-1，

得到：an+1=1+λλan（n≥2），故数列{an}从第二项起是等比数列.

又因为a2=17λ，所以n≥2时，an=17λ（1+λλ）n-2

所以数列{an}的通项an=-67n=1，17λ（1+λλ）n-2n≥2.

点评：解决本题的关键是利用整体换元的思想，根据已知条件得到相邻项的代数式，两式相减即可得到数列的规律，再利用等比数列的定义求得通项公式.

五、整体构造

把局部构造成一个整体，这是在整体中求发展的一大创举.

例6 已知函数f（n）=n2（当n是奇数时）

-n2（当n是偶数时），且an=f（n）+f（n+1），则a1+a2+a3+…+a2014= .

解析：本题考查数列的通项公式的求法和前n项和的求法，需注意对通项公式和问题灵活变形.当n为奇数时，an=f（n）+f（n+1）=n2-（n+1）2=-2n-1，

当n为偶数时，an=f（n）+f（n+1）=-n2+（n+1）2=2n+1，所以an=（-1）n（2n+1），

∴an+an+1=2（n是奇数）

∴a1+a2+a3+…+a2014=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2013+a2014）=2+2+2+…+2=2014

点评：本题的求解还是体现了解决问题的整体思想，先通过研究数列奇数项与偶数项的通项公式，利用相邻两项的和是定值，利用整体思想解决问题.

跟踪训练题：

1.等差数列{an}中，如果a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，数列{an}前9项的和为 .

2.设等差数列{an}的前n项和为Sn且满足S15>0，S16<0，则S1a1，S2a2，…，S15a15中最大的项为 .

3.在数1和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记作Tn，再令an=lgTn，n≥1.则数列{an}的前n项和Sn= .

4.在等差数列{an}中，前n项和为Sn，且S2013=-2013，a1006=3，则S2012= .

5.等差数列{an}的通项公式是an=1-2n，其前n项和为Sn，则数列{Snn}的前10项和为 .

参考答案

1.【解析】 由a1+a4+a7=39，得3a4=39，a4=13.由a3+a6+a9=27，得3a6=27，a6=9.所以S9=9（a1+a9）2=9（a4+a6）2=9×（13+9）2=9×11=99.

2.【解析】 由S15=15（a1+a15）2=15a8>0，得a8>0.由S16=16（a1+a16）2=8（a9+a8）<0，得a9+a8<0，所以a9<0，且d<0.所以数列{an}为递减的数列.所以a1，…，a8为正，a9，…，an为负，且S1，…，S15>0，S16，…，Sn<0，则S1a1>0，S2a2>0，…，S8a8>0，S9a9<0，S10a10<0，….又S8>S1，a1>a8，所以S8a8>S1a1>0，同理可得S8a8>Snan（n∈N*，n≤7），所以最大的项为S8a8.

3.【解析】 设l1，l2，…，ln+2构成等比数列，其中t1=1，tn+2=100，则

Tn=t1·t2·…·tn+1·tn+2， ①

Tn=tn+2·tn+1·…·t2·t1， ②

①×②并利用titn+3-i=t1tn+2=102（1≤i≤n+2），得

T2n=（t1tn+2）·（t2tn+1）·…·（tn+1t2）·（tn+2t1）=102（n+2），

∴an=lgTn=n+2，n≥1.

所以Sn=n（n+5）2.

4.【解析】 因为S2013=2013（a1+a2013）2=2013a1007=-2013，所以a1007=-1.

又a1006=3，故S2012=2012（a1+a2012）2=1006（a1006+a1007）=1006×（3-1）=2012.

5.【解析】 由等差数列{an}的通项公式得a1=-1，所以其前n项和Sn=n（a1+an）2=n（-1+1-2n）2=-n2.则Snn=-n.所以数列{Snn}是首项为-1，公差为-1的等差数列，所以其前10项的和为S10=10×（-1）+10×92×（-1）=-55.