2013高考数学解题策略

进入高考复习的最后冲刺阶段，如何调整好心态，制定出合理的备考策略，无疑对高考是至关重要的.对于两个实力相当的同学，在考试中某些解题策略技巧使用的好坏，往往会导致两人最后的成绩有很大的差距.

一、填空题解题策略

（一）解填空题的常用方法

填空题是将一个数学真命题写成其中缺少一些语句的不完整形式，要求学生在指定的空位上，将缺少的语句填写清楚、准确.填空题属小题，其解题的基本原则是“小题不能大做”.解题基本策略是：巧做.解题基本方法一般有：直接求解法、图像法、构造法和特殊化法（特殊值、特殊函数、特殊角、特殊数列、图形特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型）.

1.直接求解法：直接从题设条件出发，用定义、性质、定理、公式等，经变形、推理、计算、判断等得到正确结论.这是解填空题常用的基本方法，使用时要善于“透过现象抓本质”.力求灵活、简捷.

例1 数列{an}、{bn}是等差数列，a1=0、b1=-4，用Sk、S′k分别表示{an}、{bn}的前k项和（k是正整数），若Sk+S′k=0，则ak+bk= .

解：用等差数列求和公式Sk=a1+ak2k，得a1+ak2k+b1+bk2k=0，又a1+b1=-4，∴ak+bk=4.

2.特殊化求解法：当填空题结论唯一或其值为定值时，我们只需把题中的参变量用特殊值（或特殊函数、特殊角、特殊数列、图形特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等）代替之，即可得到结论.如：上例中取k=2，于是a1+a2+b1+b2=0，故a2+b2=4，即ak+bk=4.

例2 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，如果a，b，c成等差数列，则cosA+cosC1+cosAcosC= .

解法一：取特殊值a=3，b=4，c=5，则cosA=45，cosC=0，cosA+cosC1+cosAcosC=45.

解法二：取特殊角A=B=C=60°，则cosA=cosC=12，cosA+cosC1+cosAcosC=45.

例3 如果函数f（x）=x2+bx+c对任意实数t都有f（2+t）=f（2-t），那么f（1），f（2），f（4）的大小关系是 .

解：由于f（2+t）=f（2-t），故知f（x）的对称轴是x=2.可取特殊函数f（x）=（x-2）2，即可求得f（1）=1，f（2）=0，f（4）=4.

∴f（2）

例4 已知m，n是直线，α，β，γ是平面，给出下列命题：

①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；

②若n⊥α，n⊥β，则α∥β；

③若α内不共线的三点到β的距离都相等，则α∥β；

④若nα，mα，且n∥β，m∥β，则α∥β；

⑤若m，n为异面直线，nα，n∥β，mβ，m∥α，则α∥β.则其中正确的命题是 .（把你认为正确的命题序号都填上）

解：依题意可取特殊模型正方体AC1（如图），在正方体AC1中逐一判断各命题，易得正确的命题是②⑤.

3.数形结合法：对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目条件的特点，作出符合题意的图形，做到数中思形，以形助数，并通过对图形的直观分析、判断，则往往可以简捷地得出正确的结果.

例5 已知向量a=（cosθ，sinθ），向量b=（3，-1），则|2a-b|的最大值是 .

解：因|2a|=|b|=2，故向量2a和b所对应的点A、B都在以原点为圆心，2为半径的圆上，从而|2a-b|的几何意义即表示弦AB的长，故|2a-b|的最大值为4.

例6 如果不等式4x-x2>（a-1）x的解集为A，且A{x|0

解：根据不等式解集的几何意义，作函数y=4x-x2和函数y=（a-1）x的图象（如图），从图上容易得出实数a的取值范围是a∈[2，+∞）.

4.等价转化法：通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”将问题等价转化成便于解决的问题，从而得到正确的结果.

例7 不等式x>ax+32的解集为（4，b），则a= ，b= .

解：设x=t，则原不等式可转化为：at2-t+32<0，∴a>0，且2与b（b>4）是方程at2-t+32=0的两根，由此可得：a=18，b=36.

例8 不论k为何实数，直线y=kx+1与圆x2+y2-2ax+a2-2a-4=0恒有交点，则实数a的取值范围是 .

解：题设条件等价于点（0，1）在圆内或圆上，或等价于点（0，1）到（x-a）2+y2=2a+4的圆心距离≤半径 ∴-1≤a≤3.

5.构造法：根据题设条件与结论的特殊性，构造出一些新的数学形式，并借助于它认识和解决问题的一种方法.

例9 如图，点P在正方形ABCD所在的平面外，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，则PABCD的外接球的体积为 .

解：根据题意可将此图补形成一正方体，在正方体中易求得V=32π.

6.分析法：根据题设条件的特征进行观察、分析，从而得出正确的结论.

例10 如右图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，当底面四边形满足条件 时，有A1C⊥B1D1（填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能性的情形）.

解：因四棱柱ABCDA1B1C1D1为直四棱柱，故A1C1为A1C在面A1B1C1D1上的射影，从而要使A1C⊥B1D1，只要B1D1与A1C1垂直，故底面四边形A1B1C1D1只要满足条件B1D1⊥A1C1即可.

例11 已知函数f（x）=x21+x2，

那么f（1）+f（2）+f（12）+f（3）+f（13）+f（4）+f（14）= .

解析：本题特征是：f（x）+f（1x）=1且f（1）=12，故原式=3+f（1）=3+12=72.

（二）减少填空题失分的检验方法

1.回顾检验

例12 满足条件cosα=-12且-π≤α<π的角α的集合为 .

错解：∵cos2π3=-12，cos4π3=-12，∴α=2π3或4π3.

检验：根据题意，答案中的4π3不满足条件-π≤α<π，应改为-2π3；其次，角α的取值要用集合表示.故正确答案为{2π3，-2π3}.

2.赋值检验.若答案是无限的、一般性结论时，可赋予一个或几个特殊值进行检验，以避免错误.

例13 已知数列{an}的前n项和为Sn=3n2+2n+1，则通项公式an= .

错解：∵an=Sn-Sn-1=3n2+2n+1-[3·（n-1）2+2（n-1）+1]=6n-1，

∴an=6n-1.

检验：取n=1时，由条件得a1=S1=6，但由结论得a1=5.

故正确答案为an=6（n=1），6n-1（n≥2）.

3.逆代检验.若答案是有限的、具体的数据时，可逐一代入进行检验，以避免因扩大自变量的允许值范围而产生增解致错.

例14 方程3z+|z|=1-3i的解是 .

错解：设z=a+bi（a，b∈R），则（3a+a2+b2）+3bi=1-3i，根据复数相等的定义得

3a+a2+b2=1，3b=-3.解得a=0，b=-1或a=34，b=-1..故z=-i或z=34-i.

检验：若z=-i，则原方程成立；若z=34-i，则原方程不成立.

故原方程有且只有一解z=-i.

此外还有估算检验、作图检验、变法检验、极端检验等方法，这里不一一叙述.切记：解填空题应方法恰当，争取一步到位，提高一次准确率，答题形式标准，避免丢三落四，“一知半解”.

二、解答题解题策略

解答题从题设到结论，从题型到内容，条件隐蔽，变化多样，因此就决定了审题思考的复杂性和解题设计的多样性.在审题思考中，要把握好“三性”，即（1）目的性：明确解题结果的终极目标和每一步骤分项目标.（2）准确性：提高概念把握的准确性和运算的准确性.（3）隐含性：注意题设条件的隐含性.审题这第一步，不要怕慢，其实慢中有快，解题方向明确，解题手段合理，这是提高解题速度和准确性的前提和保证.

下面举例说明：

二次函数综合问题：由于二次函数的解析式简捷明了，易于变形（一般式、顶点式、零点式等），所以，在解决二次函数的问题时，常常借助其解析式，通过纯代数推理，进而导出二次函数的有关性质.

例15 已知a是实数，函数f（x）=2ax2+2x-3-a，如果函数y=f（x）在区间[-1，1]上有零点，求a的取值范围.

分析：二次函数f（x）的图像具有连续性，且由于二次方程至多有两个实数根.所以存在实数m，n使得m

解析：若a=0，f（x）=2x-3，显然在[-1，1]上没有零点，所以a≠0.

令Δ=4+8a（3+a）=8a2+24a+4=0，解得a=-3±72

①当a=-3-72时，y=f（x）恰有一个零点在[-1，1]上；

②当f（-1）·f（1）=（a-1）（a-5）<0，即1

③当y=f（x）在[-1，1]上有两个零点时，则

a>0Δ=8a2+24a+4>0-1<-12a<1f（1）≥0f（-1）≥0或a<0Δ=8a2+24a+4>0-1<-12a<1f（1）≤0f（-1）≤0

解得a≥5或a<-3-72

综上所求实数a的取值范围是a>1或a≤-3-72.

实力是获取高分的基础，策略方法技巧是获取高分的关键.在步入高考的最后阶段，既不可心浮气躁，更不能畏惧不前，多一分踏实、勤奋的努力，就多一分走向成功的把握.以平常心走向考场，正常发挥，才能取得好的成绩.

（作者：蒋景景，江苏省镇江中学）