高考三角函数与平面向量命题动向

吴修国

一、高考命题分析

纵观近年各省的高考数学试题，出现了一些富有时代气息的三角函数与平面向量考题，它们形式独特、背景鲜明、结构新颖，主要考查学生分析问题、解决问题的能力和处理交汇性问题的能力.在新课标高考试卷中一般有2～4题，分值约占全卷的14%～20%，因此，加强这些试题的命题动向研究，对指导高考复习无疑有十分重要的意义.现聚焦高考三角函数与平面向量试题，揭秘三角函数与平面向量高考命题动向，挖掘三角函数与平面向量常见的考点及其求解策略，希望能给考生带来帮助和启示.

二、命题特点

新课标高考涉及三角函数与平面向量的考题可以说是精彩纷呈，奇花斗艳，其特点如下：

（1）考小题，重基础：有关三角函数的小题，其考查重点在于基础知识：解析式；图象与图象变换；两域（定义域、值域）；四性（单调性、奇偶性、对称性、周期性）；简单的三角变换（求值、化简及比较大小）.有关向量的考查主要是向量的线性运算以及向量的数量积等知识.

（2）考大题，难度明显降低：有关三角函数的大题即解答题，通过公式变形转换来考查思维能力的题目已经很少，而着重考查基础知识和基本技能与方法的题目却在增加.大题中的向量，主要是作为工具来考查的，多与三角、圆锥曲线相结合.

（3）考应用，融入三角形与解析几何之中：既能考查解三角形、圆锥曲线的知识与方法，又能考查运用三角公式进行恒等变换的技能，深受命题者的青睐.主要解法是充分利用三角形内角和定理、正、余弦定理、面积公式、向量夹角公式、向量平行与垂直的充要条件、向量的数量积等.

（4）考综合，体现三角的工具作用：由于近几年高考试题突出能力立意，加强对知识性和应用性的考查，故常常在知识交汇点处命题，而三角知识是基础中的基础，故考查与立体几何、解析几何、导数等综合性问题时突出三角与向量的工具性作用.

三、高考动向透视

考向1 考查三角函数的概念及同角三角函数的基本关系

高考对本部分内容的考查主要以小题的形式出现，即利用三角函数的定义、诱导公式及同角三角函数的关系进行求值、变形，或是利用三角函数的图象及其性质进行求值、求参数的值、求值域、求单调区间及图象判断等，而大题常常在综合性问题中涉及三角函数的定义、图象、诱导公式及同角三角函数的关系的应用等，在这类问题的求解中，常常使用的方法技巧是“平方法”，“齐次化切”等.

例1 （2012年高真题全国卷理7）已知α为第二象限角，sinα+cosα=33，则cos2α= .

解析：因为sinα+cosα=33所以两边平方得1+2sinαcosα=13，所以2sinαcosα=-23<0，

因为已知α为第二象限角，所以sinα>0，cosα<0

sinα-cosα=1-2sinαcosα=1+23=53=153，所以

cos2α=cos2α-sin2α=（cosα-sinα）（cosα+sinα）=-153×33=-53.

考向2 考查三角函数的图象及其性质

三角函数的图象与性质主要包括：正弦（型）函数、余弦（型）函数、正切（型）函数的单调性、奇偶性、周期性、最值、图象的变换等内容，在近年全国各地的高考试卷中都有考查三角函数的图象与性质的试题，而且对三角函数的图象与性质的考查不但有客观题，还有主观题，客观题常以选择题的形式出现，往往结合集合、函数与导数考查图象的相关性质；解答题主要在与三角恒等变换、不等式等知识点的交汇处命题，难度中等偏下.

例2 （2012年高考陕西理16）函数f（x）=Asin（ωx-π6）+1（A>0，ω>0）的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为π2.

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）设α∈（0，π2），则f（α2）=2，求α的值.

解析：（1）∵函数f（x）的最大值为3，∴A+1=3，即A=2，

∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2，∴最小正周期T=π，∴ω=2，

故所求函数f（x）的解析式为y=2sin（2x-π6）+1.

（2）∵f（α2）=2sin（α-π6）+1=2，即sin（α-π6）=12，

∵α∈（0，π2），∴-π6<α-π6<π3，∴α-π6=π6，故α=π3.

考向3 单调区间

高考对三角函数的单调性考查，常以小题形式呈现，有时也会出现在大题的某一小问中，属中档题.对于形如y=Asin（ωx+φ）（或y=Acos（ωx+φ）），Aω≠0的单调区间的求法是：先考虑A，ω的符号，再将ωx+φ视为一个整体，利用y=sinx的单调区间，整体运算，解出x的范围即可.

例3 （2012年高考课标全国卷）已知ω>0，函数f（x）=sin（ωx+π4）在（π2，π）上单调递减，则ω的取值范围是 .

A. [12，54] B. [12，34]

C. （0，12] D. （0，2]

解析：结合特殊值，求解三角函数的减区间，并验证结果.

取ω=54，f（x）=sin（54x+π4），其减区间为[85kπ+π5，85kπ+π]，k∈Z，显然（π2，π）[85kπ+π5，85kπ+π]，k∈Z，排除B，C.取ω=2，f（x）=sin（2x+π4），其减区间为[kπ+π8，kπ+58π]，k∈Z，显然（π2，π）[kπ+π8，kπ+58π]，k∈Z，排除D.答案：A

考向4 求最值

高考对三角函数最值的考查，常以小题形式呈现，属中档题.有时也在大题中的某一步呈现，属中档偏难题，高考常考查以下两种类型：①化成y=Asin（ωx+φ）的形式后利用正弦函数的单调性求其最值；②化成二次函数形式后利用配方法求其最值.

例4 （2012高考山东文8）函数y=2sin（π6x-π3）（0≤x≤9）的最大值与最小值之和为 .

解析：因为0≤x≤9，所以0≤π6x≤9π6，-π3≤π6x-π3≤9π6-π3，即-π3≤π6x-π3≤7π6，所以当π6x-π3=-π3时，最小值为2sin（-π3）=-3，当π6x-π3=π2时，最大值为2sinπ2=2，所以最大值与最小值之和为2-3.

考向5 利用三角恒等变换求三角函数值

三角恒等变换是研究三角函数的图象与性质，解三角形的基础，在前几年的高考中单独命题的情况很少，但在今年的高考中加强了对三角恒等变换的考查，大多是结合三角函数的图象与性质，解三角形进行命题，但有的省份对三角恒等变换进行了单独命题，由此可见，高考加大了对三角恒等变换的考查力度，高考命题考查的重点性质是公式，同角三角函数基本关系，两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式.

例5 （2011年高考天津卷理科15）已知函数f（x）=tan（2x+π4）.

（Ⅰ）求f（x）的定义域与最小正周期；（Ⅱ）设α∈（0，π4），若f（α2）=2cos2α，求α的大小.

解析：（Ⅰ）由2x+π4≠kπ+π2，k∈Z，得x≠π8+kπ2，k∈Z，所以f（x）的定义域为

{x∈R|x≠π8+kπ2，k∈Z}.f（x）的最小正周期为π2.

（Ⅱ）由f（α2）=2cos2α，得tan（α+π4）=2cos2α，即sin（α+π4）cos（α+π4）=2（cos2α-sin2α），

整理得：sinα+cosαcosα-sinα=2（cosα-sinα）（cosα+sinα），因为sinα+cosα≠0，所以可得

（cosα-sinα）2=12，解得sin2α=12，由α∈（0，π4）得2α∈（0，π2），所以2α=π6，α=π12.

评注：本小题主要考查两角和的正弦、余弦、正切公式，同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦、余弦公式、正切函数的性质等基础知识，考查基本运算能力.

考向6 有关解三角形的考查

新课标高考对解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的综合运用为主，在解题时，要分析清楚题目条件，利用正弦定理、余弦定理转化为三角形中各边之间的关系或各角之间的关系，并结合三角形的内角和为180°，诱导公式，同角三角函数基本关系，两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行化简求值.在近几年的高考中，对解三角形的考查力度有所加强，而且更加注重知识点的综合运用，没有怪题、偏题.下面我们就高考试题研究一下解三角形的问题.

例6 （2012高考山东文17）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinB（tanA+tanC）=tanAtanC.

（Ⅰ）求证：a，b，c成等比数列；（Ⅱ）若a=1，c=2，求△ABC的面积S.

解析：（Ⅰ）由已知得：

sinB（sinAcosC+cosAsinC）=sinAsinC，

sinBsin（A+C）=sinAsinC，sin2B=sinAsinC，

再由正弦定理可得：b2=ac，所以a，b，c成等比数列.

（Ⅱ）若a=1，c=2，则b2=ac=2，∴cosB=a2+c2-b22ac=34，sinB=1-cos2B=74，

∴△ABC的面积S=12acsinB=12×1×2×74=74.

考向7 平面向量共线与垂直

高考对平面向量共线与垂直的考查，常以小题形式出现，属中档题，有时也在大题的条件中出现，属中档偏难题.平面向量的坐标表示可使平面向量运算完全代数化，从而使得我们可以利用“方程的思想”破解向量共线与垂直的问题.

例7 （2012高考重庆理6）设x，y∈R，向量a=（x，1），b=（1，y），c=（2，-4）且a⊥c，b∥c，则|a+b|= .

解析：因为a⊥c，b∥c，所以有2x-4=0且2y+4=0，解得x=2，y=-2，即a=（2，1），b=（1，-2），所以a+b=（3，-1），|a+b|=10.

考向8 平面向量夹角

高考对平面向量夹角的考查，常以小题形式出现，属中档题.有时也在大题中出现，属中档题.两向量夹角公式其实是平面向量数量积公式的变形和应用、有关两向量夹角问题的考查，常见类型：①依条件等式，运算求夹角，此类问题在求解过程中应关注夹角取值范围；②依已知图形求两向量夹角，此类题求解过程应抓住“两向量共起点”，便可避开陷阱，顺利求解.

例8 （2011年安徽理13）已知向量a，b满足（a+2b）·（a-b）=-6，且|a|=1，|b|=2，则a与b的夹角为 .

解析：（a+2b）·（a-b）=-6，则a2+a·b-2b2=-6，即12+a·b-2×22=-6，a·b=1，所以cos=a·b|a|·|b|=12，所以=60°.

考向9 平面向量的模

高考对平面向量的模的考查，常以小题形式出现，属中档题，常考查类型：①把向量放在适当的坐标系中，给有关向量赋予具体坐标求向量的模，如向量a=（x，y），求向量a的模只需利用公式|a|=x2+y2即可求解.②不把向量放在坐标系中研究，求解此类问题的通常做法是利用向量运算法则及其几何意义或应用向量的数量积公式，关键是会把向量a的模进行如下转化：|a|=a2.

例9 （2012高考新课标理13）已知向量a，b夹角为45°，且|a|=1，|2a-b|=10，则|b|= .

解析：因为|2a-b|=10，所以（2a-b）2=10，即4|a|2-4a·b+|b|2=10，

所以4+|b|2-4|b|cos45°=10，

整理得|b|2-22|b|-6=0，

解得|b|=32或|b|=-2（舍去）.答案：32.

考向10 平面向量的应用

近年的新课标高考，对于平面向量的应用的考查不仅体现在力学中，还渗透到中学学科的各个分支，但不论题型如何变化，都是把向量作为工具进行考查的，解题的关键是把这些以向量形式出现的条件还其本来面目.

例10 （2011天津文数14）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则|PA+3PB|的最小值为 .

解析：以直角梯形的D点为坐标原点，DA边所在直线为x轴，DC边所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，设C（0，c），P（0，x），则A（2，0），B（1，c），∴PA=（2，-x），PB=（1，c-x），

∴|PA+3PB|=|（5，3c-4x）|=52+（3c-4x）2≥5，即其最小值为5.

考向11 创新问题

例11 （2011年山东理12）设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A1A3=λA1A2（λ∈R），A1A4=μA1A2（μ∈R），且1λ+1μ=2，则称A3，A4调和分割A1，A2，已知平面上的点C，D调和分割点A，B，则下面说法正确的是 .

（1）C可能是线段AB的中点；

（2）D可能是线段AB的中点；

（3）C，D可能同时在线段AB上；

（4）C，D不可能同时在线段AB的延长线上.

解析：设AC=cAB，AD=dAB.根据题意可知1c+1d=2，若C或D是线段AB的中点，则c=12，

或d=12，矛盾；若C，D可能同时在线段AB上，则02矛盾；若C，D同时在线段AB的延长线上，则c>1，d>1，0<1c+1d<2，故C，D不可能同时在线段AB的延长线上，答案选（4）.

例12 （2012高考广东文10）对任意两个非零的平面向量α和β，定义α°β=α·ββ·β.若两个非零的平面向量a，b满足a与b的夹角θ∈（π4，π2），且a°b和b°a都在集合{n2|n∈Z}中，则a°b= .

解析：因为a°b=a·bb·b=|a|·|b|cosθ|b|2=|a|cosθ|b|，同理b°a=b·aa·a=|b|cosθ|a|，因为a°b和b°a都在集合{n2|n∈Z}中，令n12=|a|cosθ|b|，n22=|b|cosθ|a|（n1，n2∈Z），所以n12·n22=|a|cosθ|b|·|b|cosθ|a|=cos2θ，即n1·n2=4cos2θ，又因为θ∈（π4，π2），所以0