对一道高考题的探索与研究

赵琳

摘 要：2013年陕西高考数学第21题思考和探索，一题多解，思维多变.

关键词：导数综合应用；压轴题；构造函数；数形结合；反函数；导数几何意义

2013年陕西高考数学题的特点是：平凡中考能力，传统中见新奇.题目整体难度适中，突出了对主体知识的考查，回归课本基础知识的意图更加明显，同时也有一些亮点，灵活性增强，新题型、改编题增多，选修题命题角度有所转变.

认真做完整套试题，最后一道题（第21题）让我感受颇深，考查的知识点主要是导数的综合运用.这道题基础与能力并重，第一问较简单，考查了两个比较基础的知识：反函数和导数的几何意义.第二问较难，重在考查学生研究非基本初等函数性质的能力和数形结合的思想.第三问属于“拔尖”题型，题目要求比较两个式子的大小，需要构造函数，并且研究其性质，要求比较高.整个题的确不负“压轴”的重任，要求学生基础知识要扎实，运算要过关，思维要灵活，应变能力要强.题目虽难，但三问之间并无联系，可以独立考查学生每部分知识，同时也给了学生得分的机会.做完这道题，经过仔细的思考，从不同入手点去挖掘这道题，我总结出一些不同的解题方法，展示出来，让大家体会这道压轴题的强大之处，欣赏数学思维的神奇和美妙之处.

题目：21.（本小题满分14分）

点评：此方法较简单，通过除法，转化成两个函数，其中函数y=的性质可以借助导数工具，容易研究，再通过数形结合的方法比较直观，易于接受.

点评：此法先求出特殊情况：两函数相切时的m值.再数形结合，改变m值，使抛物线开口发生变化得出结论.此法易于理解，但比较巧妙，可能很多学生思维达不到.

（Ⅲ）解法一：可以证明>，

由图可知，S梯形ABCD>S曲边梯形ABCD

点评：解法一先得出结论再用分析法证明，解法二用到了求差法比较大小，两种方法立意不同，但最后都无一例外地用到了构造函数，研究其性质，再回归原题，构造函数始终是难点，思维不够灵活的学生做不下来.解法三运算量很小，并且简单直观，但还是难在思维上，必须想到题中两个代数式的几何意义，数形结合，还需要适当地变形.所以第三问总体难度很大，思维要求高，运算也要非常熟练.

通过对第21题的分析，我觉得在以后的数学高考备考过程中对待难题，不能轻言放弃，应该对学生思维的灵活度和技巧的运用加大训练，同时还要强化学生的运算能力，尽量让学生在最后一道题上多拿分.

（作者单位 陕西省西安中学）