提高高中数学解题教学效率的四个视角

姜丽芳

摘 要：著名数学教育家波利亚说过：“掌握数学意味着解题”. 解题教学是数学课堂教学的一个重要组成部分，是实现数学教学目的的重要手段，本文从四个方面阐述了提高高中数学解题教学效率的策略.

关键词：引导；思维；问题；反思

高中数学解题教学是以培养学生解决问题的能力和学生后续发展的思维能力为主要教学任务的. 在教学中教师应当以数学问题为载体，启发学生在问题的变化中观察问题，从问题的迁移中思考问题，掌握数学问题的思考过程和推理方法. 著名数学教育家波利亚说过：“掌握数学意味着解题”. 解题教学是数学课堂教学的一个重要组成部分，是实现数学教学目的的重要手段. 目前中学数学解题教学存在以下几个问题：（1）关注问题解决教学细节不够，重结果，轻过程，追求快捷式解题，导致学生记得多，理解得少；做得多，想得少. （2）较多关注“怎样解”，对“为什么这样解”、“怎样学会解”缺乏必要的研究，长期徘徊在一招一式的归类，缺少观点上的提高或实质性的突破；（3）更关注现成的、形式化问题的求解，对问题的“反思”研究不够.

数学课堂离不开解题教学，它不仅能有效地增强学生解决问题的能力，而且可以加深学生对基本概念的理解，促进学生良好数学观念的形成. 《数学新课程标准》明确指出：要加强对学生数学应用意识和解决实际问题能力的培养.在平时的课堂教学中，解题教学存在的一些问题应引起足够的重视，如当学生面对数学问题时，常常会出现：只可意会，不可言传的现象，不知道该怎么写；会做的题目往往会算错；考试的时候会出现似曾相识但就是不知道该怎么做的现象；用“题目”对付“题目”，碰到新鲜题目却无从下手的现象. 学生解题处在一种随意的杂乱无章的思维状态. 因此，教师在课堂教学中应重视解题教学，要让学生做到：想得到就要写得出，做得来就要算得对，能将题目归类为问题，会将问题进行反思拓展，真正掌握解题的思维程序. 下面笔者将从这四个方面对如何提高高中数学解题教学的效率进行探讨.

[?] 视角一 教师重视课堂板书，引导学生规范解题

板书、行为和普通话是教师三大基本功. 然而，随着电脑和多媒体技术进入课堂，越来越多的教师选择方便、简捷的课件演示代替传统板书. 现代化教学手段增加了课堂容量，节约了课堂教学时间，减轻了教师板书的工作量. 但长此以往，教师对电脑有了依赖性，学生成了被灌输的对象，上课也显得被动，就像看“电视连续剧”一样，失去了最为宝贵的“同步思考”.

笔者曾调查过学生，学生反映：我们更喜欢教师的手写板书，因为它显得人性化. 课件的快节奏和自己的思维节奏不一样，总给人冷冷的感觉，有时会影响学习兴趣. 比起鼠标点击，我们更喜欢看教师一边讲解一边思考一边写板书，通过同步思考，超前思考，让我们更容易理解，产生很深的印象. 很多学生觉得教师的板书就是给自己解题的一个示范，否则只看屏幕上的播放，放过了就忘记了.

每一节数学课堂中至少一个例题有详细的板书过程，向学生呈现解题的方法和解题的过程以及必要的运算过程和相关的图形. 在《排列与组合》的教学中，笔者发现学生的想法很多，但大多数学生都遇到了书写的困难，不能很好地展现自己的思维过程，以至于常常发生“觉得自己的想法很正确，答案却错了，但不知道错在哪里”的困惑.针对这个现象，在课堂上笔者站在学生的角度，站在学生的数学基础上将问题讲透，注重通性通法，认真板书，引导学生规范解题.

例1 用0到5这6个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数有多少个？

教师边听学生的想法，边板书详细过程：

学生1：按末位是否为0分类，有两类.

教师板书：第1类末位数是0，共有A=20个；第2类末位是2或4，共有AAA=32个. 根据分类加法计数原理，满足条件的偶数个数是N=20+32=52个.

学生2：按每一位数的奇偶分类，有四类.

教师板书：第1类三位数分别是奇、奇、偶，共有AA=18个；第2类三位数分别是偶、奇、偶，共有CCC=12个；第3类三位数分别是奇、偶、偶，共有CA=18个；第4类三位数分别是偶、偶、偶，共有CA=4个. 根据分类加法计数原理，满足条件的偶数个数是N=18+12+18+4=52个.

学生3：排除法，先允许0在首位，求出总数，再求出末位是偶数的数，再减去首位是0的数.

教师板书：先允许0在首位，共有A=120个三位数，因为这6个数中，奇数与偶数个数相同，所以共有=60个末位是偶数的三位数，其中首位是0，末位是偶数的共有AA=8个数，故满足条件的偶数个数是N=60-8=52个数.

教师点评：三位学生给出了不同的思路，其他学生看看解题过程，在分类时注意不重不漏，我们在具体做题时尽量选择比较简洁的做法，更快捷地解决问题.

如果说教师的课堂板书演示给学生起到了很好的示范作用，那么学生的板演就是对这个作用的很好的肯定. 苏霍姆林斯基说：“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，就是希望自己是一个发现者、研究者、探索者. 而在少年的世界中，这种需要特别强烈”，“学生板演”给了学生作为发现者的欣喜体现，同时课堂中“学生板演”是教学中一条重要反馈渠道. 板演中学生的思维过程得以展现，特别是学生板演中暴露出来的错误，能够引起教师与学生的共同反思.

于是在教师示范的基础上，笔者再给出一个变式题：用0到5这6个数字组成没有重复数字的三位数，其中能被3整除的有多少个？让多位学生同时板演. 学生的板演让笔者感到很欣慰，有按三位数字中有没有0来分类的，有按和为3的倍数来分类的，过程都写的相当漂亮.

通过教师的示范，学生知道了怎样书写过程，也明白了自己的想法错在哪里. 能够将自己的思维过程完整地表述出来，这也是数学学习能力的体现.

[?] 视角二 展示运算过程，提高运算能力

教师依赖电脑，学生依赖计算器是现在的一个普遍现象. 而运算能力作为一项基本的数学能力，无论是中学数学的《教学大纲》，还是《考试说明》，都把它列在诸项数学能力的首位，同时它也是其他数学能力的基础. 提高学生的计算能力不仅有利于提高学生数学成绩，也有利于学生逻辑、推理、创新等各种能力全方面发展，从而更好适应时代需要.所以笔者认为教师在课堂中也要充分展示计算过程，而不能把计算过程略掉，或者习惯性地对学生说：“这个计算过程同学们课后好好算算，由于时间关系课堂上就不展开了”，看似节约了时间，其实是错过了教育良机，在课堂上教师应该有耐心地和学生一起将计算进行到底.

例2 为了展示运算过程，让学生充分体验过程，笔者在讲解“椭圆标准方程的推导”这一部分内容时是这样处理的：

首先，复习回顾：（1）求曲线方程的一般方法：坐标法；（2）求曲线方程的一般步骤：建系、设点、列式、化简.

引导学生从对称美、简洁美等角度建立平面直角坐标系，使求出的方程最为简单，得到两种方案：

先选定方案1，推导方程.

接下来的化简就是难点，为了更好地突破难点，笔者先举一个实例：已知a=5，c=3，由学生尝试化简+=10.

教师提示：这个方程形式复杂，应该化简. 化简的目的是去掉根式，可以两边平方. 这里有两个根式，如何平方更简捷？应该使用先移项再平方，再移项再平方的方法.

学生动手体验：移项得=10-，两边平方，化简得5=25-3x，再平方，整理得16x2+25y2=252-25×9=25×16，可以整理得+=1.

教师引导学生观察发现：25=a2，16=25-9=a2-c2.

在学生对具体的运算过程有所体验的基础上，教师对一般方程的化简作以示范：将这个方程移项后两边平方，得（x+c）2+y2=4a2-4a+（x-c）2+y2，整理得a2-cx=a. 上式两边再平方，得a2-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2，整理得（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）. 由椭圆定义知， 2a>2c，即 a>c，所以a2-c2>0. 令a2-c2=b2，其中b>0，代入上式，得b2x2+a2y2=a2b2，两边同除以a2b2，得+=1.

到此，完成了对课本上算理的分析. 问题解决是一种学习方式，提出问题更是新课程的较高要求. 教师在课堂中要适度引入问题解决的思想，引导学生自主解决课本中的探究. 同时也要不断利用追问，培养学生通过提问来推动问题解决的前进. 通过师生共同计算，学生知道了该怎么化简，此时教师要把握教育契机，引导学生大胆地思考其他方法. 师生共同探讨：

方法二：用均值换元法

书上介绍的方法直接通过移项平方进行化简，这是课堂示范的重点，属于通性通法；方法二通过均值换元，把问题转化为含一个根式的化简；方法三利用三角换元，运用三角恒等式，也把问题转化为含一个根式的化简. 不同的解法有不同的优点，通过不同的化简途径，及时总结出各种化简技巧，提高运算能力.

[?] 视角三 依托教材问题，研究问题变式

在新课程标准的指引下，数学教学方法也在不断改进、创新. 数学教学不应局限于一个狭窄的课本知识领域里，应该是让学生对知识和技能初步理解与掌握后，进一步地深化和熟练，使学生在学习中学会运用课本的知识举一反三. 应用数学“变式教学”的方法是十分有效的手段，所谓“变式”，就是指教师有目的、有计划地对命题进行合理的转化，即教师可不断更换命题中的非本质特征，变换问题中的条件或结论，转换问题的内容和形式，配置实际应用的各种环境，但应保留好对象中的本质因素，从而使学生掌握数学对象的本质属性.

数学教材是数学知识的载体，是学生学习和掌握数学知识的基本工具，也是教师向学生系统传授知识、进行教学活动的主要依据. 新课程所倡导的“用教材”的主要精髓在于教师在课堂教学过程中能够对教材进行灵活的处理和运用，灵活的处理和运用的关键在于吃透教材，只有在熟悉课程标准、吃透教材的基础上，教材的精神才能内化为教师自己的教学思想，才能在课堂上对教学内容挥洒自如、得心应手. 因此，深入钻研教材，正确使用教材是非常重要的，它是优化课堂教学的前提，更是显示教师教学能力和学识水平的重要标志. 教材中的数学问题内容丰富，层次分明，有例题、练习题、习题、复习参考题等，对其中的不少问题稍作改编，就能得到一道高考试题.

例3 （人教版A版选修2-1第47页例7）已知椭圆+=1，直线l：4x-5y+40=0. 椭圆上是否存在一点，使得它到直线l的距离最小？最小距离是多少？

在解完整个题的基础上，教师可以引导学生将原题的问题提炼成一个新的概念，在数学上可以定义此最小值为曲线到直线的距离，把学生熟悉的“点到直线的距离”定义成了“曲线到直线的距离”，甚至还可以将定义类比推广为“两条曲线间的距离”，比如说两圆之间的距离. 类似这样考查新概念的问题在高考中屡见不鲜. 例如下面一道题：

（2012年高考数学浙江卷理科第16题）定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离. 已知曲线C1：y=x2+a到直线l：y=x的距离等于曲线C2：x2+（y+4）2=2到直线l：y=x的距离，则实数a=_______.

解析：和书上例题类似，教师引导学生在理解“曲线到直线的距离”的概念的基础上，将它转化为普通的求点到直线的距离的题型，最后利用类比思想、数形结合思想解决问题.

几乎每年的高考数学试题中都有一些“似曾相识”的题目，而这些“似曾相识”的题目大多数是源于教材问题的 “变式”. 在课堂教学中，如果我们围绕教材重点、难点，通过改变课本例题、练习题、习题中的某些条件或结论，使之成为一个新题，或者得到一种解决问题的新的方法，这样的变式教学必将激发学生的学习兴趣，拓展学生的数学视野，培养学生的创新能力.

[?] 视角四 引导学生反思，成就思维高度

在数学学习中，如果仅仅致力于做题，从本质上讲只是一种重复训练，它确实能提高学生解题的熟练程度，但对解题能力的真正发展却不一定起到很大的作用. 著名数学教育家G·波利亚讲过：“数学问题的解决仅仅只是一半，更重要的是解题之后的回顾”. 所谓回顾，就是指解题后的反思与总结. 那么，该如何反思与总结呢？笔者认为可以从以下几点去考虑：

首先解完一道题，教师引导学生对这道题作进一步的思考：答案是否合理？解题过程是否使用了题中所有条件？题目所要求的问题解决了吗？解题思路是否严密？解题过程是否合理？……反思整个解题过程，能避免偏离题设的错误，并及时修正解题中的错误.

其次由于数学知识之间是有机联系、纵横交错的，所以很多数学问题的解法并不唯一. 解完题后，教师引导学生从多个角度进行思考，看看是否还有其他解法. 通过探求一题多解，可以防止思维定式，及时总结出各类解题技巧，找出最合适的解题方式，更快捷地解决问题.

再次解完一个问题以后，教师还可以引导学生想想看：命题的逆命题是否成立？题目中有没有蕴涵规律性的内容？问题经过拓展，能否得到一般性的结果？养成这种“打破砂锅问到底”的习惯，有助于增加知识存储量和思维深度，更有助于促进学生完善认知结构.

在复习课中，笔者曾就一个高考题中的结论引导学生进行了反思拓展.

例4 （2011年高考数学山东卷（理科）第22题第1问）已知动直线l与椭圆C：+=1交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两个不同的点，且△OPQ的面积S△OPQ=， 其中O为坐标原点. 证明：x+x和y+y均为定值.

解析：如图3所示，当直线l的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，所以x2=x1，y2=-y1.

综上所述，x+x=3，y+y=2，结论成立.

做完这样一道似乎含有结论性内容的题目后，如果把它丢在一边，那真是非常可惜. 笔者引导学生反思如下几个问题：（1）只要△OPQ的面积为定值，x+x和y+y就一定为定值吗？通过研究可以发现，“S△OPQ=”是一个非常重要的条件，如果△OPQ的面积取任意一个常数，而不是取，则x+x和y+y就不一定为定值.（2）S△OPQ=，x+ x=3，y+y=2，这些数据与椭圆标准方程+=1中的a，b是什么关系？这样的问题是由思维的拓展性所产生的，也就是由特殊到一般的思考方式. 不难发现，如果推广到一般的情况，似乎有“若S△OPQ=ab，则x+x=a2，y+y=b2”，让学生思考能否证明这个结论. （3）如果椭圆的方程为+=1，那么当△OPQ的面积为多少时，x+x和y+y就一定为定值，这个定值是多少？由第2问，这个问题的结论显而易见. （4）如果x+x或y+y取定值，△OPQ的面积能否为定值？如果是定值，这两个定值与椭圆标准方程+=1中的a，b是什么关系？这是对原题的反向提问，也就是对问题的逆向思维，实际上，如果x+x=a2或y+y=b2，△OPQ的面积才能为定值，且S△OPQ=ab. 通过对这几个问题的思考，可以得到以下结论：当且仅当S△OPQ=ab时，x+x=a2，y+y=b2. 教师还可以引导学生思考一下，在双曲线或者抛物线中有没有类似的结论.

教师引导学生经常对问题作出合理的猜想和适度的拓展，势必能提高学生分析问题和解决问题的能力，更重要的是有助于提高学生提出问题的能力，形成创新思维.

古人云：“授之以鱼，不如授之以渔.”因此在日常教学中，教师不仅仅是教知识，更重要的是让学生知道怎样去学习知识，获取知识，如何把所学的知识运用到具体的问题解决中去. 让学生经历完整的数学思考过程，明确研究的问题，选取研究的方法，构建研究的过程，从而获得研究的结论. 波利亚认为，教书是一种有无数大小诀窍的行业，通过努力，总可以讲得更深刻更生动. 只要教师肯下功夫，学生的思维一旦被激活，数学教育的成功就自然在我们的期待之中了.