善用图式表征促进学生数学能力的深层建构

庄治新

摘要：数学直观是数学学习的一种重要策略，是以数学直观符号为基本构成要素、以信息加工过程的直观性为形态的认知方式。借助图式可以使抽象知识具体化、使复杂知识简洁化、使单一知识多元化、使特殊知识一般化，从而有助于探索解决问题的思路，在整个数学学习过程中发挥着非常重要的作用。

关键词：图式表征；深层建构；小学数学教学

中图分类号：G623.5 文献标志码：A 文章编号：1673-9094（2013）03-0067-05

《义务教育数学课程标准（2011年版》修订时把几何直观作为义务教育数学课程的核心内容之一，提出在数学学习中要初步形成几何直观，强调几何直观在学生建立数学概念、解决数学问题过程中的地位和作用。借助几何直观不仅可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有利于学生探寻正确的解题思路，而且可以帮助学生沟通数学问题之间的联系，增进数学理解，形成结构化的数学知识。利用数学图式表征数学事实，描述和分析数学问题是学生在数学学习中最常用、最有效的方式之一。[1]

脑科学家的研究表明，学习是建立神经网络的过程。在人的一生当中，每个人都通过具体的经验、表征或者符号学习以及抽象学习在脑的皮层上建立了令人难以置信的大量神经网络来储存信息。很多最牢固的神经网络都是通过实际的经验建立起来的。根据信息加工的观点，当有机体对外界信息进行加工（输入、编码、转换、存储和提取等）时，这些信息是以表征的形式在头脑中出现的。

数学图式是以直观符号为基本构成要素，以信息加工过程的直观性为形态的认知方式。[2]图式表征作为一种重要的科学方法和学习工具，可以帮助学生理解和掌握一些抽象的概念和理论。皮亚杰认为，所有的生物包括人在与周围环境的作用中都有适应和建构的倾向。当已有图式不能解决面临的问题情境时，个体会很自然地试图通过各种方式来调整这种不平衡。建构主义认为，学习不是由老师把知识简单地传递给学生，而是学生自主建构知识的过程，这种建构是无法由他人来代替的。笔者认为，图式表征是帮助学生自主建构知识的重要手段之一，应始终伴随儿童学习数学的过程，在培养学生几何直观能力的同时，促进学生对知识的深层建构。

一、巧用图式，表征数学事实，使抽象知识具体化

图式是提示数学对象的性质和关系的有力工具。[3]美国当代教育心理学家威特罗克提出的生成学习观认为：学习者头脑中的知识绝不是纯粹客观事物的摹本，也不是简单地由教师、教材“传递移入”的，而是主动建构它对信息的解释，并从中作出推论。康德也指出，图式是“潜藏在人类心灵深处”的一种技巧，是一种个体印记的经验化的教程。学习者不是被动地接收信息，而是主动参与到信息领悟过程中，努力建构有意义的理解，通过将信息纳入图式中，它既能够带来同化性学习，即图式适配，也能够导致顺应性学习，即建立新图式。[4]

数学家克莱因认为：“数学的直观是对概念、证明的直接把握”。[5]在数学教学中，由于受学生的知识经验和思维水平的限制，经常会遇到一些很难用语言解释清楚的概念或性质，这时图形直观往往会成为有效的表达工具。[6]通过图式，把抽象问题具体化，不仅直观形象，有利于思考，而且信息量大，概括性强，为学生创造自主思考的机会，促使学生通过自主探索和合作交流，发现和再创造数学知识，获得对数学的深刻理解。

1.图式能帮助我们深刻理解数学概念和性质

所谓数学概念是人脑对现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的一种反映形式，即一种数学的思维形式，而数学知识的性质则是指从数学概念直接推导得出的运算法则或者运算公式等延伸的知识，具有高度的概括性和抽象性。图式是表达数学概念和性质的独特方式，它把数学概念和性质形象化、数量化，能帮助学生深刻理解数学的概念和性质。正如我国著名数学家张广厚认为：“抽象思维如果脱离直观，一般是很有限度的，同样，在抽象中如果看不出直观，一般说明还没有把握问题的实质。”如平面图形周长的概念为：封闭的平面图形边界的总长叫做这个图形的周长。什么叫封闭的平面图形？什么叫边界的总长？这对学生来说十分抽象，而利用图式则能很具体地表达这两层意思：

通过图1中图式①和图式②了解何为不封闭的平面图形何为封闭图形，通过图式③认识图形的周长并不是图形中所有线段的总长，图式④的四条加粗的线段才是边界的总长，也就是这个封闭图形的周长，学生通过对图式的观察比较，明晰周长的概念。在小数的认识中，假若1个正方形表示1元，怎样表示0.7元？图2中图式⑤就很具体地表征了小数的具体意义：将1元平均分成10份，每份是0.1元，7份就是0.7元。同样，在三年级初步认识分数时，图式对学生理解分数大小的比较也起到不可估量的作用，如图式⑥。

没有图形就没有思考，理性的思考过程以直观的图式表示出来，使之形象化、视觉化，建立起人对自身体验与外物体验的对应关系，加深了学生对数学概念和性质的理解。

2.图式亦能帮助我们明晰算理和算法

所谓算理，是指计算的理论依据，通俗地讲就是计算的道理，一般由数学概念、定律、性质等构成，用来说明计算过程的合理性和科学性，而计算方法是计算的基本程序或方法，是处理指导下的一些人为规定，用来说明计算过程中的规则和逻辑顺序。图式在算理的理解和算法的构建过程中，起到支撑性的作用。[7]斯蒂恩认为：“如果一个特定的问题可以转化为一个图像，那么就整体地把握了问题。”

毫无疑问，时间条的呈现是对抽象数学知识进行的编码和表征，通过图形感知支持抽象思维，相对于文字表述更为形象、简洁、清晰，帮助学生直观地理解时间的计算方法。此类图式，是学生展开数学想象的重要材料，为学生创造了自主思考的机会，促使学生发现和创造数学知识的同时，获得对数学的深刻理解。[8]

3.图式还能帮助我们有效建立数感

数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟，包括对数的意义、数量的多少、数之间的关联等的直觉，在一定程度上是思维的产物。而数的概念本身是抽象的，学生理解和掌握数的概念要经历一个过程，图式的呈现则能帮助学生在深刻把握数的概念的同时，逐步提高对数的感悟水平。脑科学研究表明，我们的大脑在理解很大的数字的时候，会出现一些困难，因为我们没有什么经验与它们联系起来，而图式则提供了视觉与言语文字双重编码的机会，有利于学生把握关系中重要的方面，领会、辨析、总结和综合复杂的观点，为思维过程提供支架。[9]在四年级《认识整万数》教学中，如何帮助学生感悟一万有多少？

图5

通过图5这5个图式的动态叠加，使数学课堂的学习更丰富、生动，学生在深刻体会大的数目意义、感受大数目存在的同时，更拓展了学生的空间感，帮助学生有效建立了数感，为学习更大数目的“十万”、“百万”、“千万”、“亿”等作了有效的支撑。这是对语言文字最形象生动、迅捷识别的可视化表征，使学生的心理内部思维、想象过程外显可见，促进对知识的深层建构。

二、利用图式，描述数学问题，使复杂知识简洁化

脑科学研究指出，一张图片相当于至少10000个单词的价值。当静态的数学知识成为每个学习个体的知识时，图式能帮助我们浓缩冗长的数学概念语言，而留下简洁的数学语言。[10]借助示意图或线段图表征问题情景的成分和结构，以达到对数学问题结构性的理解，进而为解题者提供一些未经解释或形式转换就可以被察觉与使用的信息，以约束认知活动的范围，促进问题的解决。[11]

心理学家鲁梅特认为，图式就像戏剧，因为图式具有能与环境的不同方面相联系的变量。[12]正如爱因斯坦所说，他所有的想法都是以或多或少的清晰的图像呈现的，而且很难将自己的观点写成文字。其实，将思考转换成图像的能力常被看作是对其真正理解与否的判断标准。

有些比较复杂的纯文字数学问题，对学生来说比较难以理解，在教学中，应该让学生体会到正确画图、用画图分析和描述问题的好处。如，“为了庆祝元旦，同学们做了一些花。红花的朵数比黄花多30朵，黄花的朵数比紫花少80朵，紫花的朵数正好是红花的2倍。三种花各有多少朵？”在解决这个问题的时候，可以利用图6的图式，帮助学生直观地理解三种花的具体关系，从而理清思路，找出解决问题的方法：

借助图式描述数学问题，能加强学生对问题情境信息及其关系的理解，帮助学生从整体上把握问题，提示问题的转化方法，从而获得正确的解题思路。[13]正如波利亚所说：图形不仅是几何题目的对象，而且对与几何一开始没有什么关系的题目，图形也是一种重要帮手。学生用图式描述数学事实的过程，是对静态数学知识的个性化理解，是动态的数学图式的建构过程。从某种意义上说，利用图式描述数学问题，对启迪学生解题策略，促进深层建构的作用是显而易见的。

三、借助图式，探索解决问题，使单一知识多元化

英国学者东尼·博赞（Tony Buzan）指出：思维导图能同时启动左、右脑，使人的想象力和创造力与有关的关键知识逻辑地综合起来。[14]将原本枯燥的一长串难以理解的信息变成容易记忆、有高度组织性的图式，使学生不仅能清晰地体会到寻找解题突破口的过程，而且可以一目了然地理解解题思想方法的挖掘、使用过程等，使单一的数学知识多元化地表达，从而使学生可以真正由会解一道题转变为会解一类题。

爱因斯坦曾说：“结论几乎总是以完成的形式出现在读者面前，读者体会不到探索和发现的喜悦，感觉不到思想形成的生动过程。”而数学知识在形成的过程中经过了众多数学家的研究推定和符号建构，这些知识都必须经过学生个体的内在的认知理解和主动建构，才能促进学生对知识的有效理解。[15]诚如乔纳森所说：“当学生尝试用图式方法来表征事物时，其思维往往处于最佳状态。”

如：“一块菜地，长15米，宽12米。如果在这块菜地上种青菜，平均每平方米收青菜16千克。这块地共收青菜几千克？如果在这块地上种桃树，每棵桃树占3平方米，这块地可以种桃树多少棵？”如何理解“每平方米青菜收16千克”和“每棵桃树占地3平方米”？启发学生通过自主活动，画出如图8相应图式：

通过图式，题目中的数量关系就一下子变得简单明了，解决问题的思路也跃然纸上。运用示意图也可以迁移到“1千克黄豆可以做4千克豆腐”或“每4千克鲜鱼可以晒1千克鱼干”等问题，触类旁通，举一反三，从某一题“顿发的灵感”上升归纳为解一类题的思维方法。

在这里，图式推动了学生的信息加工，通过对新信息进行形象化精制，使之与其它信息（已有的知识、经验）相联系，一方面在现实生活元素和学生原有知识结构之间架起一座桥梁，另一方面又帮助学生用已有的认知结构去同化、顺应新信息，使学生能更好地学会知识并活用迁移。[16]

四、绘制图式，构建数学模型，使特殊知识一般化

数学是研究数量关系和空间形式的科学，具有很强的抽象性和高度的结构化。新课程重视数学模型的建立，指出数学教学“应从学生的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并加以解释与运用的过程”，从具体到抽象，从特殊到一般，逐步提示数量之间的内在联系，并用数学化的形式表示规律，从而把思维和推理提高到一个更高的层次。

心理学研究表明，学生感知越丰富，建立的表象越清晰，就越能发现事物的规律，获得知识。数学图式就如同一根丝线，将数学知识或串联成链，或编织成网，通过各种准确的、精致的、自动化的形式，沟通知识间的联系，突出数学知识的系统性，彰显重、难点，梳理逻辑顺序。数学图式是学生最容易利用的数学形象，它架起了具体与抽象之间的桥梁，有利于学生系统掌握知识，促进学生更有成效地展开数学思考，发现并提示规律，思维逐步转向更高级、更抽象的层面。

如：“在一条长200米的道路一侧种树，每两棵树之间相距5米，若两侧都要种，那么一共要种多少棵树？”解决这类题目，应该根据图9的图式，找出蕴含的规律：1个5米种2棵，2个5米种3棵，3个5米种4棵……从而得出有几个5米，就要种几加1棵树。

通过对图式的观察分析，引导学生画一画，比一比，找出其中的规律。又如：“摆1个□要4根小棒，摆2个要7根小棒，摆9个要（ ）根小棒，有52根小棒，能摆出（ ）个。”亦可根据图10，找出规律：正方形的个数×3+1=小棒的根数、（小棒根数-1）÷3=正方形的个数，从而使学生形成解决此类问题的图式系统。

在此类数学问题中，数学图式始终引领并启迪着学生的思维，促使学生展开思考，并逐步发现问题的本质。这一过程中，重要的不是规律本身，而是学生在参与的过程中，获得的借助图式直观展开数学思考的经验，以及对探索简单数学规律一般过程的体验与感悟。

一节课的知识点在知识体系和学生学习过程中的地位和作用各有不同。数学图式往往都是围绕教学重点和难点而生成的。对于数学概念教学而言，教学重点和难点往往就是概念的本质内涵。数学图式是以准确把握教学重点和难点为前提的，是基于学生数学思维发展和数学素养提升的。

善用图式表征，能生动形象地描述数学问题，直观地反映分析问题的思路，能帮助学生较好地理解数学本质，促进学生思维发展，为学生创造主动思考的机会，使其经历数学探索、发现和再创造的过程。在化数为形的过程中，提高学生数学素养，促进学生对数学知识的深层建构。

参考文献：

[1][2][3][6][11][13]王林.小学数学课程标准研究与实践[M].南京：江苏教育出版社，2011：167，168，169，169，170，170.

[4][9][16]盛力群.学与教的新方式[M].杭州：浙江大学出版社，2007：191，195，213.

[5][7]黄伟星.培养几何直观能力的教学思考[J].教育研究与评论（小学教育教学），2011（6）.

[8]魏光明.基于直观 创生精彩[J].教育研究与评论（小学教育教学），2012（2）.

[10]杨晓荣.重视培养几何直观能力[J].教育研究与评论（小学教育教学），2011（8）.

[12][14]王天蓉.有效学习设计——问题化、图式化、信息化[M].北京：教育科学出版社，2010：181，198.

[15]王乃涛.数学图式：促进教各学的意义融通[J].江苏教育研究，2012（2B）.

责任编辑：石萍