一道江苏高考题的大学解法及其思考

薛峰 赵玉祥

江苏的高考倒数第二题是一道带电小球在复合场中特殊曲线运动的好题，如下：

在场强为B的水平匀强磁场中，一质量为m、带正电为q的小球在O点静止释放，小球的运动曲线如下图所示。已知此曲线在最低点的曲率半径为该点到x轴的2倍，重力加速度为g。求

（1）小球运动到任意位置p（x，y）处的速率；

（2）小球在运动过程中第一次下降的最大距离ym；

（3）当在上述磁场中加一竖直向上场强为E（E>）的匀强电场时，小球在O点静止释放后获得的最大速率vm。

参考答案：

解：将小球速度分解为水平方向和竖直方向，其对应的是洛仑兹力在竖直方向和水平方向上的力，得：

思考一：显然，从=到=ωy说明小球的水平分速度只与竖直距离有关，整个过程中只有重力做功说明小球的速度同样只与竖直距离有关，而小球在最高点只有水平速度，所以由牛顿第二定律得：max=qBvy

从原点到极大值点求和：maxΔt=qBvyΔt

由初始条件得：mvm=qBym

由动能定理得：mgym=mv2m

联立方程可得：ym=

说明：第二问与第三问本质相同，请读者自行整理。

思考二：從y=（1-cosωt）说明小球在y轴方向做振幅为，角频率为ω的简谐振动；从x=（ωt-sinωt）说明在x轴方向上，小球的运动是两个运动的叠加，一个是振幅为，角频率ω的简谐振动，另一个是振动中心以速度vx==向右运动。所以完全可以从运动的独立性入手。虽然小球初始静止，但将其分解为沿x轴方向的速度+v和-v，且满足：qBv=mg

从此小球的运动可视为一个速度为v沿x轴正方向匀速直线运动和一个速率为v匀速圆周运动的合成，对匀速圆周运动，有qBv=m

易得：ym=2R=

说明：通过此法同样能得到轨迹方程。不难得出小球的最大速度vm=2v=，由向心力公式得qBvm-mg=m，解得ρ==2ym，所以不但不需要此曲线在最低点的曲率半径为该点到x轴的2倍这一条件，而且可以通过利用初等数学推导出来，为我们今后的命题提出思考。

（作者单位 江苏省镇江新区大港中学）