数学方程思想方法例析

瞿峰

数学思想和方法是数学基础知识、基本技能的本质体现，是形成数学能力、数学意识的桥梁，是灵活应用数学知识、技能的灵魂.因此，在解题过程中准确快捷的关键是正确运用数学思想方法. 求值时，当问题不能直接求出时，一般需要设未知数建立方程.用解方程的方法求出结果，这也是解题中常见的具有导向作用的一种思想.这里对方程思想举例予以说明，以供同学们学习参考应用.

例1 如下图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CE⊥AB于E，其中∠ACB=78°，∠BAD=∠ABD，求∠ADB和∠BCE的度数.

【分析】要求∠ADB 及∠BCE 度数，依条件知∠DBC= ∠DBA= ∠DAB. 采用“间接设元”比“直接设元”更有利于沟通各已知量之间的关系， 所以设∠DBA 为 x. 设元后，再用三角形内角和定理作为等量关系列出方程 .

【解答】在△ABC 中，由于BD 平分∠ABC ，

∴ ∠DBC= ∠DBA.

又∠DBA= ∠DAB ，设∠DBA=x ，

那么∠DBC= ∠DAB=x.

∵∠ACB=78°，

∴ x+2x+78° =180°，

解得 x=34°.

∴∠ADB=180°-∠DAB-∠DBA

=180°-2x=112° .

在△BCE 中，∵ CE⊥AB ，

∴ ∠CEB=90° .

∴ ∠BCE=180°-∠CBE-∠CEB

=180°-2x-90° =22° .

故∠ADB=112°，∠BCE=22° .

【评析】这是角平分线性质与方程的结合解题，是方程思想在几何中的应用，用方程的思想，这类问题变得简单明了。

例2 等腰三角形顶角的外角与一个底角的外角和等于245°，求它的顶角的度数.

【分析】这是关于等腰三角形角的计算.可考虑应用设未知数列方程的方法计算.

【解答】解： 方法一，设这个等腰三角形的顶角为x，根据同一三角形中等边对等角，则它的一个底角为（180-x）°，这个顶角的外角为（180-x）°，底角的外角为[180-（180-x）]°.

由题意可得： （180-x）+[180-（180-x）]=245

∴180-x+180-90+x=245

∴-x=245-270

∴x=50

答：这个三角形顶角为50°.

解： 方法二，设顶角为x，底角为y，顶角外角为（180-x）°，底角外角为（180-y）°.

由三角形内角和定理可得：x+2y=180

由题意可得： （180-x）+（180-y）=245， ∴x+y=115，

∴x+2y=180x+y=115

解方程组得 x=50y=65

答：这个三角形顶角为50°.

【评析】方程是解决很多数学问题的重要工具，很多数学问题可以通过构造方程而获解.事实上，用设未知数的方法表示所求的未知量，可使计算过程书写简便，也易于表明角与角之间的关系.

例3如图，△ABC是等腰三角形，分别向△ABC 外作等边△ADB 和等边△ACE，若∠DAE=∠DBC，求△ABC三个内角的大小.

【分析】先利用∠DAE=∠DBC求出∠BAC与∠ABC之间的关系， 再利用内角和定理求出它们的大小.

【解答】在△ADB 和△ACE等边三角形中，

∴∠DAE=60°+∠BAC+60°，

又∠DBC=60°+∠ABC

并且∠DAE=∠DBC，

∴120°+∠BAC=60°+∠ABC

即∠ABC=60°+∠BAC，

又∵△ABC是等腰三角形，

∴∠ABC=∠ACB=60°+∠BAC，

设∠BAC=x， 则x+2（x+60）=180，

解得x=20.

即△ABC三个内角的大小分别为20°， 80°， 80°.

【评析】本题是几何与代数的综合题，先利用几何的等量关系，再列出方程求解.方程是解决数学问题的重要工具，也是重要的数学思想.几何计算、几何证明也常通过方程解决.

例4 已知一次函数的图象经过A（-2，-3）、B（1，3）两点.求这个一次函数的解析式.

【分析】关键是要确定x与y的函数解析式，而确定函数解析式的关键在于确定系数k，而系数的确定就需要借助于解关于的方程.

【解答】设这个一次函数的解析式为y=kx+b.

∵一次函数的图象经过点A（-2，-3）、B（1，3），

∴-2k+b=-3k+b=3.

解得k=2b=1.

∴这个一次函数的解析式为y=2x+1.

【评析】这是一个用“待定系数法”解决的函数题，是方程思想在代数中的应用.

总之，在初中数学的学习中，要善于总结归纳，强化方程思想，感受用方程解决问题的优势，逐步培养和提高自己用方程思想解决问题的能力.

（作者单位：山东临沂临港经济开发区临港一中）