构造等腰三角形解题的五种途径

赵国瑞

等腰三角形是一类特殊的三角形，它的性质和判定在几何证明和计算中有着广泛的应用.有些几何图形中不存在等腰三角形，可根据已知条件和图形特征，通过添加适当的辅助线，巧妙构造等腰三角形，然后利用等腰三角形的性质使问题获解.

一、利用角平分线+平行线，构造等腰三角形

当一个三角形中出现角平分线，我们可以通过作平行线构造等腰三角形.如图1，AD是△ABC的角平分线.

①如图2，过点D作DE∥AC交AB于点E，则△ADE是等腰三角形；

②如图3，过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E，则△ABE是等腰三角形；

③如图5，点E是AB边上一点，过点E作EF∥AC分别交AD、BC于点F、G，则△AEF是等腰三角形；

④如图4，点E是AB边上一点，过点E作EF∥AC，交AD的延长线于点F，交BC于点G，则△AEF是等腰三角形；

⑤如图6，过点C作CE∥AD交AB的反向延长线于点E，则△ACE是等腰三角形；

⑥如图7，点E是AC边上一点，过点E作EF∥AD，交AB的反向延长线于点F，交BC于点G，则△AEF是等腰三角形.

我们知道，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合，简称“三线合一”.现在的问题是：如果三角形一边上的中线与它的对角的角平分线重合，那么这个三角形是否是等腰三角形呢？答案是肯定的，现在就来证明这个定理.

例1 如图8，△ABC中，中线AD平分∠BAC.求证：AB=AC.

分析：AD既是△AC的中线，同时又是△ABC的角平分线.联想到与角平分线和中线有关的辅助线，可过点B（或点C）作AC（或AB）的平行线.

证明：如图9，延长AD至点E，使DE=AD.

∵BD=CD，∠BDE=∠ADC，DE=AD，

∴△BDE≌△CDA.

∴BE=AC，∠E=∠CAD.

又∠BAD=∠CAD，∴∠BAD=∠E.

∴AB=BE.∴AB=AC.

说明：本例也可过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，如图10所示，从面积入手证明.

二、利用角平分线+垂线，构造等腰三角形

当一个三角形中出现角平分线时，我们也可以通过作垂线的方法构造等腰三角形.如图11，点E是∠ABC的角平分线AD上的一点，过点E作AD的垂线分别交AB、AC于点M、N，则△AMN是等腰三角形.

例2 如图12，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，∠ABC的平分线BD交AC于D， CE⊥BD，交BD的延长线于点E.求证：CE=BD.

分析：由角平分线和垂线可以构造以BC为腰、∠ABC为顶角的等腰三角形.

证明：如图12，延长CE交AB的反向延长线于点F.

∵BD平分∠ABC，CE⊥BD，由角平分线的对称性知CE=EF=CF.

∵∠1+∠F =90°，∠2+∠F =90°，

∴∠1=∠2.

又AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，

∴△BAD≌△CAF.∴BD=CF.

∴CE=BD.

三、利用中垂线，构造等腰三角形

当一个三角形中出现高时，可以在高所在的边（或其延长线）上取一点，使高是该点与该边上三角形的一顶点组成的线段的中垂线，从而构造等腰三角形.

如图13，AD是△ABC的高.

①如图14，在线段BC上取一点E使ED=DE，连结AE，则△AEC是等腰三角形；

②如图15，在线段BC的延长线上取一点E，使BD=DE连结AE，则△ABE是等腰三角形.

例3 如图16，在△ABC中，AD⊥BC于 点D，∠B=2∠C.求证：AB+BD=CD.

分析：由待证结论AB+BD=CD并结合已知条件“AD⊥BC”，可构造以AB为腰、AD为底边上的高的等腰三角形.

证明：在BC上取一点E，使BD=DE，连结AE，则△ABE是等腰三角形.

∴AB=AE，∠B=∠AED.

而∠AED=∠C+∠CAE，且∠B=2∠C， ∴∠C+∠CAE=2∠C.

∴∠CAE=∠C.∴AE=CE.∴AB=CE.

∴AB+BD=CE+DE=CD.

四、利用平行线，构造等腰三角形

过等腰三角形一腰上的点作底边或另一腰的平行线，都可以得到等腰三角形. 如图17，在△ABC中，AB=AC.过线段AB上一点D作DE∥BC，DF∥AC，分别交AC、BC于点E、F，则△ADE和△BDF都是等腰三角形.

例4 如图18，△ABC中，AB=AC，D是AB上一点，E是AC延长线上一点，且BD=CE，DE交BC于点F.求证：DF=EF.

分析：由待证结论知点F是线段DE的中点，再结合已知条件“AB=AC”，可过点D作DM∥AC构造等腰三角形.

证明：过点D作DM∥AC交BC于点M，则∠DMB=∠ACB，∠FDM=∠E.

∵AB=AC，∴∠B=∠ACB.

∴∠B=∠DMB.∴BD=DM.

又BD=CE，∴DM=CE.

在△DMF和△ECF中，DM=CE，∠FDM=∠E，∠DFM=∠EFC，

∴△DMF≌△ECF.∴DF=EF.

说明：本例也可过点E作EN∥AB交BC的延长线于点N，证明过程留给同学们完成.

五、转化倍角，构造等腰三角形

当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，我们就可以通过转化倍角寻找到等腰三角形.

如图19，△ABC中，∠B=2∠C.

①如图20，作BD平分∠ABC，则△DBC是等腰三角形；

②如图21，延长CB到点D，使BD=BA，连结AD，则△ADC是等腰三角形；

③如图22，以C为角的顶点，CA为一边，在形外作∠ACD=∠ACB，交BA的延长线于点D，则△DBC是等腰三角形.

例5 如图23，在△ABC中，∠ABC=2∠C，BC=2AB.求证：∠A=90°.

分析：结合已知条件“∠ABC=2∠DBA”和“BC=2AB”，可作∠ABC的平分线BD交AC于点D，并取BC的中点E，连结DE，借助等腰三角形的“三线合一”和三角形全等证明.

证明：作∠ABC的平分线BD交AC于点D，则∠DBE=∠C.∴BD=CD.

取BC的中点E，连结DE，则BE=AB，且DE⊥BC.

在△ABD和△EBD中，BE=AB，∠DBE=∠DBA，BD=BD，

∴△ABD≌△EBD.∴∠BED=∠A=90°.

（作者单位：湖北省襄阳市襄州区黄集镇初级中学）