都是“a”惹的祸

朱宜新

ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，a≠0）这种形式叫做一元二次方程的一般形式，这里的条件是a≠0.在解决问题时，同学们往往会忽略这一个隐含条件，导致解题失误.

例1：已知方程kx2-（2k+1）x+k=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围.

错解：因为方程有两个不相等的实数根，所以b2-4ac>0，即【-（2k+1）】2-4k2>0解之得：k>-.

剖析：因为方程有两个不相等的实数根，即说明该方程是一元二次方程，对于一元二次方程ax2+bx+c=0，隐含着a≠0 .

正解：k>-且k≠0 .

例2：关于x的一元二次方程（a-1）x2+x+a2-1=0的一个根为0，则a的值为_________.

错解：因为方程有一个根为0，所以a2-1=0，解之得：a=±1.

剖析：因为方程（a-1）x2+x+a2-1=0是关于x的一元二次方程，隐含着二次项系数a-1≠0，即a≠1.

正解：a=-1.

例3：关于x的方程（m-2）xm-2+x+1=0是一元二次方程，则m的值为_____________.

错解：因为方程 是一元二次方程，根据一元二次方程的定义可知m2-2=2，解之得m=±2.

剖析：因为原方程是一元二次方程，所以m-2≠0，即m≠2.

正解：m=-2.

例4：已知：关于x的一元二次方程（1-k）x2-2x-1=0，有两个不相等的实数根，则k的最大整数值为（ ）

A. 2 B. 1 C. 0 D. -1

错解：因为原方程有两个不相等的实数根.所以b2-4ac>0，即（-2）2-4（1-k）×（-1）>0，解之得k<2，又因为k<2的最大整数为1，故选B.

剖析：因为原方程是一元二次方程，所以1-k≠0，即k≠1.

正解：k=0，故选C.

例5：已知：关于x的方程（m+1）x2+2mx+（m-3）=0，有实数根，求m的取值范围.

错解：因为方程有实数根，所以b2-4ac≥0，即4m2-4（m+1）（m-3）≥0，解之得m≥-，又因为m+1≠0，即m≠-1，所以m的取值范围为m≥-且m≠-1.

剖析：关于x的方程（m+1）x2+2mx+（m-3）=0有实数根，没有说明一定是一元二次方程，也可以是一元一次方程.

正解：①当m+1=0时，即m=-1，原方程变为-2x-4=0，x=-2，符合题意；

②当m+1≠0时，因为方程有实数根，所以b2-4ac≥0，即4m2-4（m+1）（m-3）≥0，解之得：m≥-.

综上所述：m的取值范围为m≥-.

（作者单位：江苏省泗阳县实验初级中学）