设而不求法在圆锥曲线中的一般规律

魏建

【摘要】“设而不求”法在圓锥曲线中的应用曾吸引了众多人的关注和思考，尤其是它在具体题目中的应用，然而在解题的思路上我们能否进一步探索其一般化规律呢？本文基于近五年全国各高考试题，分析了圆锥曲线的命题特征，在此基础上归纳出了“设而不求”法在8种题型上的应用，旨在显化题目特征，以便对广大教师在圆锥曲线内容的教学上起到一定的作用.

【关键词】设而不求；圆锥曲线；一般规律

1.重要地位

统计分析近五年全国各高考试卷发现，“设而不求”法在近年高考圆锥曲线题目中的应用相当普遍，其中九省市的应用率达到80%，应用率在60%以上的省市高达全国的70%.由此可见“设而不求”的解题方法具有重要的现实研究意义.

2.寻“工具”搭“桥梁”

3.问题定位解决问题

通过对近五年高考试题的研究，笔者总结出了常见的八种考题类型，旨在快速定位问题，结合“工具”和“桥梁”迅速解决问题.

（1）相交弦问题：该问题主要涉及求弦长问题和弦中点问题.求弦长可结合韦达定理，利用弦长公式求解.弦中点问题包括中点坐标、轨迹方程、过中点直线方程等问题，这类问题常将“点差法”、直线斜率、中点坐标联系起来，相互转化，结合题目隐含条件加以解决.实例见[1][2][3][5].

（2）定值与定点问题：此问题有两类，一类是对已“定”问题“定”的证明，另一类是在“动”问题中寻找“定”.两类问题皆可用题目中的条件，对“定”问题直接求解；对“动”问题，先设，再整体带入化简.实例见[1][3][4][5].

（3）动点轨迹问题：此类问题常见的有两类，一类是与圆锥曲线相交的直线上某点的轨迹，如弦中点的轨迹；另一类是与某直线或某些点满足某一关系的点的轨迹，题目通常直接给出这一关系，如夹角、距离、垂直、面积.该类问题可直接将“关系”作为突破口.实例见[1][2].

（4）参数范围问题：在解决此类题目时应充分挖掘题目隐含条件，寻找各条件的关系.实例见[1].

（5）最值问题：最值问题牵涉动态问题，题设方式可包含面积、斜率、夹角、距离等问题.解决此类问题的方法是：联系条件，导出“最值”满足的规律，结合不等式、函数等工具求出最值.实例见[1][2].

（6）存在性问题：解决此类问题的方法是结合已知条件，假设结论存在，再导出结论存在的必要条件.若导出的结果与已知条件相符，则结论存在；反之，不存在.实例见[1].

（7）求直线方程问题：求直线方程问题常见的有两类，一类是求过“定”点直线的方程，“定”点常为焦点、顶点、已知点等；另一类是求“定”斜率直线的方程.涉及该两类问题时，常用中点坐标公式、斜率公式、“点差法”.实例见[2].

（8）对称性问题：对称性问题顺其自然地联系到中点问题、垂直问题及直线斜率问题.实例见[5].

4.小结

在近年“设而不求”的流行趋势下，其内在方法的学习显得尤为重要.本文介绍了构造“设而不求”的一般方法，探究了常见八大问题的解决策略.希望能对广大教师的教学提供有益参考.