排列组合问题常用解题的11种技巧

韩梁发　郑蔚文

排列组合问题是高考的必考题，也是高考的热点问题.它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握.实践证明，掌握题型和识别模式，并熟练运用，是解决排列组合问题的有效途径.从具体的解题方法或技巧来看，又可将问题归结为以下11种技巧.

1.元素相邻，捆绑为一.例如：A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有多少？

解析把A，B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，有A44=24（种）.

2.元素相间，插空处理.例如：5名男生，3名女生站成一排，要求女生互不相邻的排法共有A55·A36种.

3.特殊优先，一般在后.例如：用0，1，2，3，4这五个数字组成多少个各位数字不重复的三位偶数？

解析此处特殊元素是0和2，4，特殊位置是首位和末位，0不能放首位，0，2，4应放在末位，根据特殊先排的原则将问题分为0在末位和2，4在末位兩种情形，所以N=A24+A12·A13·A13=30（个）.

4.条件交叉，容斥原理.例如：5名运动员中选4人参加接力赛，其中甲不跑首棒，乙不跑末棒，则一共有多少种不同的参赛方案？

解析此处甲不在首位，但可以在末位；乙不在末位，但可在首位.特殊元素和特殊位置之间的交叉，可以用容斥原理n（A∪B）=n（A）+n（B）-n（A∩B）来计算.

8.不同元素入盒，先分堆再排列.例如：将7名同学分到6个班级，每班至少一人，一共有多少不同的分法？

解析先将7名同学分成6堆，再按每班一堆作全排列，即N=C27×1×A66.

9.相同元素入盒，用隔板法处理.例如：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？

解析10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为C69=84（种）.

10.正难则反，间接作答.例如：一个袋中装有4个红球，6个白球.若从中若取出一个红球得2分，取出一个白球得1分.现从袋中任取4球，若使得分数不少于5分，不同的取法共有多少种？

解析若正面处理，则应分成{4红}，{3红1白}，{2红2白}，{1红3白}这四类分别求组合数.若从反面看，只需选出的四球不全是白球就可以满足要求.所以N=C410-C46=195（种）.

11.环状排列，化环为直.例如：4名同学2名老师手牵手围成一圈，有多少不同的排法？若要求老师必须相邻，又有多少种不同的排法？