对症下药，根除求最值问题的“低级错误”

李勇

最值问题是高中数学的重要内容之一，它分布在各块知识点，各个知识水平层面.以最值为载体，可以考查高中数学的几乎全部知识点，考查学生的思维能力、实践和创新能力.因此，它在高考中占有比较重要的地位.

笔者所在学校是一所农村高中，从初中进入我校学习的大多数学生的数学基础很弱，相较于一些“星级高中”，这里的孩子在基础知识、基本能力方面相对欠缺很多.本文所谈到的一些问题，是在教学过程中遇到、几乎每届学生都会出现的共性问题.可能在有些读者看来，难登“大雅之堂”，但教学本就是要因材施教，适合学生的，才是最好的.所以敢不揣简陋，略谈一二.

求最值的问题类型常见的有：一般函数求最值，三角函数求最值，以实际问题为背景求最值，线性规划求最值，解析几何中的求最值问题，数列中求最值等等.本文仅针对学生易错的较常见的几个问题进行叙述，不求大而全.

求最值时，学生极易忽视一些或显或隐的条件，导致解题错误，现举例分析，以供求最值时作为参考.

一、对函数的本质缺乏理解，盲目将定义域端点代入函数求值，作为最大值或最小值

分析出现这种错误的学生缺乏基本的函数知识，面对求函数最值往往一筹莫展，胡乱代值，敷衍了事.解决这类学生的问题还得从基础知识、基本概念着手，要将函数的重要表现形式——图像与函数式密切结合起来，让学生从函数图像上获得对函数值变化过程的直观、感性的认识.从容易作图的基本初等函数入手，编制练习，让学生学会“读图”，加深对函数及其最值的理解.

二、忽视或明或暗的定义域的限制，导致求解最值的错误，常见于均值不等式的运用过程、实际问题为背景的应用题和换元法的运用过程等

分析遇到这样的问题，学生或者老师往往归之为粗心的问题，可在教学过程中，经常能够遇到诸如此类的错误，其实很多时候并不能以“粗心”来一言以蔽之.其实这与思维不严密、书写不规范等不良习惯有关.在这类问题的解决过程中，蕴含了“换元法”的重要思想，以上两例均因为没有对“=”的成立条件进行验证而导致了错误结果.在教学过程中，教師可能认为问题比较简单，在板书示范解题的时候，往往掉以轻心，对步骤进行了省略，而且对定义域的决定性作用强调不够，久而久之，学生的不良习惯也就养成了.这样的例子还有：数列为背景的最值问题中，忽视函数y=f（n）中n的正整数取值；实际问题中，忽视“长度”等变量的实际意义；所以我们在教授函数最值的求解时，要始终把定义域放在解题过程的第一位，让学生明白，换元以后所得函数的自变量与原函数的自变量的差异与联系，明白定义域是解决任何函数问题的根本.

三、线性规划中求最值时主观臆断，贪图“捷径”

分析实际上，该二元一次不等式组所表示的区域是不封闭的，点（-1，-1）并不在可行域内.学生在经过学习线性规划的知识之后，基础弱的学生对其意义的理解不够深刻，而且从解决问题的过程中不难形成一条错误的“经验”：线性规划求最值，总是用某两条直线的交点代入目标函数得出最值，而且不用作图，速度很快，屡试不爽.这就强化了这条解题“经验”在记忆中的存在.但是只要问题稍加变化就原形毕露了.事实证明，在教学的过程中，光凭简单的说教不能让一些孩子纠正这样的问题.教师不妨在作业中设置足够的例子让学生不断犯错，用错误事实告诉学生，这条“经验”是行不通的，将他们的解法逼到“正路”上来.

学生犯错并不可怕，失败是成功之母，只要我们能给予足够的重视，对学生在学习过程中出现的这样那样的问题，认真揣摩其成因，找到“病因”，对症下药.通过展示错解，剖析原因，促使学生养成认真审题、周密思考的良好习惯，能善于捕捉题目中的“蛛丝马迹”，洞察显隐条件，才能不断提高解题的正确率.