极坐标在定积分运算中的一点探讨

王璐

【中图分类号】O13

一、定义和述语

在平面内取一个定点O，叫极点，引一条射线OX，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）.对于平面内任何一点M，用r表示线段OM的长度，璞硎敬覱X到OM的角度，r叫做点M的极径，杞凶龅鉓的极角，有序数对（r， ）就叫点M的极坐标，这样建立的坐标系叫做极坐标系.

正如所有的二维坐标系，极坐标系也有两个坐标轴：r（半径坐标）和瑁ń亲辍⒓腔蚍轿唤牵 .r坐标表示与极点的距离，枳瓯硎景茨媸闭敕较蚓嗬 0°射线（极轴）的角度. 比如，极坐标中的（3，60°）表示了一个距离极点3个单位长度、和极轴夹角为60°的点.

在第二個例子中，被积函数是偶函数，由偶函数的性质容易得到，两种解法是正确的.而在第一个例子中，经过一次积分运算后，除了常数的被积函数变成了奇函数，这部分正好是我们符号出现问题的部分，虽然cos（2穑）=cos ，但在定积分运算中，其实积分变量还是差一个负号的，特别是经过一次积分运算后变成了奇函数， 而且有sin（2穑）≠sin .所以我们在做积分运算时，一定要考虑被积函数的奇偶性以及多重积分时每次积分后函数奇偶性的变换情况，并严格按照极坐标的定义来计算.