函数的图象

唐刚

对于函数的图象，高考试题的考查形式主要有两种：一是考查函数图象的辨识；其次是考查函数图象的综合应用，这种应用主要体现在方程、不等式等与函数图象的综合问题上. 我们要有数形结合的意识，随时准备用图象帮助我们分析、简化问题.

重点：掌握基本初等函数的图象的画法；掌握函数图象的平移、伸缩、对称、翻折变换规则；会利用函数图象进一步研究函数的性质，解决方程或不等式中的问题；能实现数与形之间的相互转化，利用图象辅助分析、解决问题.

难点：用数形结合、分类讨论的思想分析、解决问题. 观察分析、推理论证能力的培养.

在利用平移、对称、翻折等变换作函数的图象时，要特别注意渐近线、对称轴、对称中心、关键点的变换，以帮助我们获得变换后的函数的性质.

3. 函数奇偶性、单调性的四则运算

（1）奇函数+奇函数=奇函数；偶函数+偶函数=偶函数；奇函数×奇函数=偶函数；偶函数×偶函数=偶函数；奇函数×偶函数=奇函数.

（2）两个增函数的和还是增函数；两个减函数的和还是减函数.

4. 函数图象的识别

在函数图象的辨识问题中，一般是从该函数的性质（奇偶性、单调性、极值等）、正负、特殊值三个方面进行分析，排除错误选项. 对于自变量趋近于无穷大或无定义的点时，还需要注意极限思想的应用. 如果遇到两个函数在同一坐标系内的情况时，首先要找到这两个函数之间的联系，然后假定其中一个图象正确去判断另一个是否与之矛盾.

思索 观察即知y=f（x）的图象比较好画，所以不等式f（x）≥ax可转化为y=f（x）的图象不在y=ax的下方，可以考虑利用图象解决.

破解 法1：利用函数图象的平移、翻折变换，可快速作出y=f（x）的草图如下：

思索 因为函数f（x）=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，所以f ′（x）=3x2+2ax+b=0有两个相异实根x1，x2. 于是由3（f（x））2+2af（x）+b=0可得f（x）=x1或f（x）=x2.？摇又因为三次函数f（x）满足f（x1）=x1，所以可以考虑作出f（x）的草图并观察其与直线y=x1和y=x2的交点个数，进而得出方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同实根个数.

破解 由前面的分析已经得知，原问题转化为函数f（x）的图象与直线y=x1和y=x2的交点个数的问题. 注意到f（x）在极值点x1处满足f（x1）=x1，故可作出f（x）的草图如下：

当x1

易知f（x）为增函数，所以对其定义域内任意的x1，x2都有（x1-x2）（f（x1）-f（x2））≥0.

注意到A（f（b），b），B（b， f（b））在f（x）上，所以（f（b）-b）·（b-f（b））= -（f（b）-b）2≥0.

即f（b）=b. 从而问题转化为存在b∈[0，1]，使得f（b）=b成立. 即存在b∈[0，1]，使得a=eb-b2+b.

令F（b）=eb-b2+b，二次求导后可得F（b）在[0，1]上单调递增，所以1≤F（b）≤e. 故1≤a≤e，选A.

点评 本题中函数图象的应用不再是那么直接，而只是帮助我们分析问题，将原本不知道该怎么使用的条件转化为能用常规方法处理的数学等式或不等式，显然这是问题得以解决的最重要的一步，值得我们好好体会.