标注——表征数学思维的重要方式

冯桂群

拉弗德教授认为，思维是一个“想象——物质”的混合体，不仅仅出现在大脑中，也通过并呈现为言语、身体、姿势、符号和工具的协调。实际教学中我们发现：除了画图、列表、列式、表述等思维表征方式外，引导学生借助线条、符号或文字进行的“标注”活动，同样是学生参与符号化过程和认知建构中不可或缺的一部分，同样会对内隐数学思维活动的直观可视化和具体流程化的表达起着举足轻重的作用，同样可以使学生的思维从内隐到外显、从无形到有形、由模糊到清晰、由局部到整体、从无序到有序、从有意识加工到自动化加工，从而优化学习过程、提高学习效率，发展学生的心智技能，增强解决问题的策略意识和实践能力，提升数学理解力和思考力。下面就以苏教版二年级下册的数学教学为例，谈谈这方面的教学实践，以期抛砖引玉。

一、 计算中“标注”的妙用

只会计算，不理解算理，不懂实际意义和应用，不可能培养学生的创造性。实践证明：借助标注可以促进算理的明晰、算法的巩固，实现算与思的结合、操作与思辨的联手，使学生在标注“计算思路”中磨砺思维、生成智慧。

如：本册第六单元中的退位减法，尤其是被减数中间或末尾有0的退位减法，是笔算中的一大难点，出错率非常高。出错的原因主要是：当被减数的某一位或某几位出现了不够减的情况而向前一位借一作十后，原数每一数位上的数值都可能会发生变化，如果对这一变化情况没有清晰的认识，接下来的减法计算必然会出错。为此，我在教学时不仅要求学生要标出退位点，还要在被减数的每个数位上方标出退位后的数值情况。如学生在计算1000-537时，引导学生表述退位思路：个位上不够减向十位借，十位上没有向百位借，百位上没有向千位借，千位退一剩0，百位退一剩9，十位退一剩9，个位上是10，相应的标注如下：

在批改学生作业时，我注意到一个有趣的现象：解答较难的计算题，学生将计算思路标注出来了，结果就做对了，没有标注的，结果竟错了。由此可见，标注出被减数退位后的数值变化情况是多么重要。在学习之初、难题面前和出错之后，标注无疑是学生厘清计算思路的重要“拐杖”。

再如教学第八单元的乘法第一课时“整十數乘一位数的口算”和“两位数乘一位数”的笔算，起先笔者认为对学生来说，口算应该很容易，所以教学口算时就有些操之过急，没有强调口算的算理，结果全班有近20%的学生在完成“想想做做”中的“比一比、算一算”（如：4×3，40×3）时出错，如：40×3=123，5×60=115。这些学生对大家已悟出来的口算算法（先念乘法口诀再在算出的积末尾添一个0）视若罔闻。笔者快速调整了教学思路，要求学生完整地表述口算思路，如40×3：4个十乘3是12个十，即120，标注如下：

而在第二课时教学口算32×3时，当学生说出可以念两句口诀（三三得九和二三得六）求出积是96时，我顺势追问：这里的9表示9个什么？6呢？同时引导学生标注口算思路。如下图：

这样标注不仅明晰了算理，强化了算法，培养了学生的逻辑思维能力和符号表征能力，还渗透了数学建模的思想，为学生的后继学习注入了活力。比如：借助40×3的标注思路，学生会自然而然地建构出400×3的算理与算法。而32乘3的口算思路不仅与对应的笔算思路相呼应，还蕴含了“乘、乘、加”的计算模型，为今后学习形如32×13的笔算乘法（32×10=320，32×3=96，320+96=416）做了数学模型方面的渗透，进而使学生所学的知识连线成网，生成富有生长性、结构性、系统性的认知大厦和智慧宝藏。

二、 分析“关系句”时“标注”的妙用

两个数量相比较，可以描述成“相差”关系，也可以描述成“倍数”关系，比字句或倍字句就成了反映数量间关系的重要载体。通过对关系句的标注，可以一针见血地厘清数量结构与数量关系，找到解决相应问题的数学模型。

本册书第四单元第二课时安排了“求比一个数多（少）几的数是多少”的实际问题。这一内容一直是教学的一大难点。我通过“操作中建模，标注中用模”的策略，很好地突破了这一教学难点。先让学生在同桌合作中边比划手势边说“比10多/少（ ）是（ ），算式是（ ）”，从而建立数学模型———求比几多几的数就是求大数，用加法；求比几少几的数就是求小数，用减法。然后将“比10多1是11”这句话变形为“11比10多1”，并引导学生用简洁的方式标注出三个数量——大数、小数和相差数。

之后引导学生按“标注、判断、列式”的步骤解决实际问题。比如在解答课本上35页的第2题“舞蹈组有24人，合唱组比舞蹈组多14人，合唱组有多少人？”时，先让学生标注比字句：

再判断 “求合唱组有多少人？”就是求大数，所以用加法，列式：24+14=38（人）。当出现了“被比量”未知的比字句时，学生借助标注，同样能轻松地搞定数量关系，从而正确地解决实际问题。如：

这里是求小数，用减法：652-35=617（棵）。这样就不会出现“见多就加、见少就减”的低级错误，同时也进一步强化了数学模型的正确运用——求大数用加法、求差和小数用减法，潜移默化地渗透了数学建模的思想。

在让学生解决本册书第八单元的 “求一个数的几倍是多少”的实际问题时，我同样引导学生借助“标注倍字句”明确：谁是小数，谁是大数，把小数看作一份数，大数是这样的几份数，求一个数的几倍是多少就是求几个几相加是多少，所以用加法或乘法。比如教学课本第77页的例题“杨树有5棵，柳树的棵数是杨树的3倍。柳树有多少棵？”时在引导学生画小棒表示出杨树有5棵、柳树有3个5棵之后，追问：什么树的棵树是小数，把它看作一份，柳树棵数有这样的几份？是几个几棵？同时引导学生将“倍字句”中的数量关系标注出来：

所以求柳树棵数列式为：5+5+5=15（棵），或用简便算法5×3=15（棵）。通过标注，学生对“倍字句”中隐含的数量关系有了更为清晰的认识和更为理性的把握，避免了机械模仿式的浅层学习；帮助学生厘清了“差比”与“倍比”关系中求大数算法的异同点，沟通了知识间的内在联系，培养了学生的理性思辨能力与符号表征能力，促进了知识的正向迁移、整体建构和自然生长。

三、 概念教学中“标注”的妙用

在数学概念的教学中，同样要引导学生借助标注来更好地明晰概念的内涵与外延，提高对概念的深刻理解和灵活运用，从而促进数学概念的真正内化与建构。

二年级下册第一单元的学习内容是“有余数除数”，理解“余数比除数小”并能灵活运用既是重点又是难点。比如有这样的练习：（ ）÷4=6……（ ），余数有（ ）种可能，最大是（ ），被除数最大是（ ）。这是要求学生运用“余数与除数的大小关系”来推想出完整的除法算式。有部分学生竟将最大余数写成了5，显然是将余数跟商比起来了，而事实上应该将余数与除数比。于是笔者引导学生借助“孙悟空给师徒四人分桃的故事”，启发学生思考：除数是4，就是将桃平均分成4份，如果还剩余5个桃，那每人还可以分得一个桃。只有剩的桃比4少，每人不可以再分得一个，才是剩下的，只能是1、2、3这3种可能。所以余数的大小只跟除数有关，跟商没有丝毫关系。为了将流动的思路定格并强化，我引导学生边表述边进行了以下的标注：

使学生借助画弧线、写大于号和写余数，明确思考的依据与流程，使思维由模糊、无形、随性变为清晰、有形、理性。

教学本册书第二单元认数中“千以内数的写法”，我引导学生按“一圈二画三写”的步骤来完成。如：学生在练习第16页的第6题“写出横线上的数”时，我要求学生先圈出每个数中的计数单位，并根据最大的计数单位确定是几位数，是几位数就画几根短线来定位，最后再对号入座，几百的几在百位上，几十的几在十位上，几写在个位上。具体过程如下：

通过圈单位、画线定位和对号入座，学生对数位、计数单位、数位与计数单位的对应关系、最高数位与几位数的关联等知识的理解更清晰、更深刻。

本册书第五单元“认识方向”是教学的一大难点，最新的苏教版教材已将这部分内容后移到三年级。教学中，我引导学生通过标注来明确观察的中心点和几个主方向，从而帮助学生正确、灵活地运用方向概念来解决实际问题，提高实践能力和解题水平。如：完成下面的填空题，我引导学生按“一画二标三写”的步骤来完成。首先是读懂填空题，明确是以谁为观察的中心点，题目中讲“谁的哪一面”，谁就是观察的中心点，并将句中的中心点用线画出来；接着在平面图中标注出中心点的几个主要方向（与书城方位关系密切的）；最后就能准确而轻松地完成填空题——书城在金色商场的西北面。

在标注过程中，中心点、图上主方向、方向的相对性等概念得到了进一步的强化，同时也训练了学生的有序思维，增强了答题的策略意识和自我调控能力。

总之，标注是表征数学思维过程的重要方式。借助巧妙的符号标注，不仅使数学学习变得易如反掌、轻松有趣，还培养了学生的符号意识与策略意识，提高了元认知水平，增强了学生的理解力与思考力，渗透了建模思想，使学生成为能思、善思、会思的学习主人，很好地落实了知识技能、过程方法和情感态度价值观等三维目标，为学生的后继发展注入了無穷的活力。