问君哪得清如渠，为有“课本”活水来

桂晓宇

摘 要：心理学研究表明，人对他第一次接触的事物是最敏感，也是印象最深刻的. 教学成功与否，重要的一条是看首次接触问题时教师如何引导学生去探究和学习，而概念是学生开始学习一个新知识的起步. 作为教师在进行概念教学时应该格外精心准备，切忌草草结束教学. 因此，在新课标下高中数学概念课的教学，要坚持以人为本的教育理念，尊重学生的主体性，激发学生学习概念的兴趣；让学生体会概念产生的源头，亲历概念形成的过程；自主抽象概括形成概念，自觉应用概念解决问题.

关键词：概念教学；概念引入；概念理解；学习策略

[?] 问题提出

作为高三的任课老师，始终有这么一个信念：高三学生，无论从认知规律来看，还是从他们的知识储备来分析，对一些基本概念、基础知识的理解应该比较深刻，但最近两个题目的低级错误的产生，引起笔者对我们在高一、高二的概念教学中的一些思考. 让我们来看看这两个题目：

案例1 已知a∈R，设集合A={x

x-1≤2a-a2-2}，则A的子集个数共有（ ）

A. 0个 B. 1个

C. 2个 D. 无数个

解析：正确答案为B.

学生的误区：以为空集就是空的，没有任何东西，所以错误答案为A.

案例2 已知a∈R，函数f（x）=x2（x-a），当a=3时，求f（x）的零点.

解析：正确答案为：x=0和x=3.

学生的误区：①从字面理解零点就是一个点，所以答案为（0，0），（3，0）.

②把函数零点跟导数的零点混为一谈，错误解法为：f ′（x）=3x2-6x=0，所以零点为x=0和x=2.

[?] 高中数学概念的重要地位

《普通高中数学课程标准》（实验）（以下简称新课标）指出：数学教学中应加强对基本概念和基本思想的理解和掌握，对一些核心概念和基本思想要贯穿高中数学教学的始终，帮助学生逐步加深理解. 因此，数学概念的教学具有十分重要的基础性地位.

[?] 高中数学概念教学之怪现状

尽管教学大纲和新课标都强调了概念的重要性和基础性，但现在许多教师仍然存在着“重解题技巧教学，轻数学概念教学”的倾向，有的教师还刻意追求概念教学的最小化和习题教学的最大化，并美其名曰“快节奏，大容量”. 实际上是应试教育下典型的舍本逐末的错误做法；使得许多学生也出现两种错误的倾向，其一是认为概念学习单调乏味，不去重视它，不求甚解，导致对概念的认识模糊；其二是对基本概念只是死记硬背，没有透彻理解，只是机械的、零碎的认识. 结果导致学生在没能正确理解数学概念，无法形成能力的情况下，匆忙去解题，使得学生只会模仿老师解决某些典型的题型和掌握某类特定的解法；一旦遇到新的背景、新的题目就束手无策，进一步导致教师和学生为了提高成绩，陷入无底的题海之中.

[?] 新课标下高中数学概念课的教学

（一）重视概念引入的必要性和重要性

1. 概念引入的目的

在概念教学中，要使学生明确为什么要引入这个概念？没有这个概念行不行？这个概念是用来解决什么问题的？只有让学生明确了这个概念引入的目的，才能调动学生的学习积极性. 例如：为什么要引入“函数”这个概念？原因在于后面映射概念的学习. 映射概念具有很强的抽象性，书中给出的定义虽然比较简洁，似乎也容易掌握. 但往往到学生具体判断时，差错较多. 因此，教这个概念时，应注意先从它的上承——对应出发，下延到函数，只有把这三个概念搞清楚后学生才能真正掌握.

2. 数学概念的引入方法

（1）演示实验引入概念

数学是一门抽象的基础学科，所以在实施概念教学时，演示实验法往往是一种行之有效的教学方法，一个生动的演示实验，可创设一种良好的数学环境，提供给学生鲜明具体的感性认识，再通过引导学生对现象特征的概括形成自己的概念.

案例3 平面几何中两条直线的垂直关系在学生头脑中已根深蒂固，如何使他们接受不相交的两条空间直线也可以垂直这一概念，确实困难. 教师为帮助学生掌握其本质属性，可设计这样的实验：让两个学生各拿一支笔，先让它们垂直相交，得到交角为90°，然后把两支笔拿开（使其不相交），但必须做到平行移动. 由于直线可以平移，所成角度仍旧不变，所以平移后的位置关系就叫做两条异面直线垂直，从而给出异面直线垂直的概念：空间两条直线不相交，且相互所成的角为90°，这样的位置关系就叫做异面直线互相垂直.

（2）生活实例引入概念

新课标强调“数学教学要紧密联系学生的生活实际”. 在数学概念的引入上，尽可能地选取学生日常生活中熟悉的事例，并且注意选取事例不在于数量的多少，关键是要贴近学生的认知经历，能够反映概念的本质特征.

案例4 教学直线和平面垂直的定义之前，先给以下几个实际问题：（1）教室内直立的墙角线和地面的位置关系是什么？直立于地面的旗杆和地面的位置关系又是什么？（2）阳光下，旗杆与它在地面上的影子所成的角度是多少？随着时间的变化，影子的位置会移动，而旗杆与影子所成的角度是否发生改变呢？旗杆AB与地面上任意一条不过点B 的直线的位置关系又是什么？所成的角为多少？（3）将书打开直立在桌面上，观察书脊和桌面上任何直线的位置关系.由问题（1）使学生在头脑中产生直线和平面垂直的初步形象；由问题（2）和（3）使学生从感性认识逐步上升到理性认识. 根据这几个实例，让学生归纳，概括出线面垂直的定义.

（3）创设情境引入概念

教师要善于恰当地创设趣味性、探索性的问题情境，激发学生概念学习的兴趣，使学生能够从问题分析中，归纳和抽象出概念的本质特征，这样形成的概念才容易被学生理解和接受.

案例5 向量概念的引入，可创设这样的问题情境：一只老鼠向西逃窜10米，假如猫向北或向西北方向追去，猫能追上老鼠吗？用多媒体演示这幅“猫追老鼠”的动画，这样引入生动、有趣、自然，能激起学生学习、探讨的兴趣. 进一步设问：为什么猫追不上老鼠？将学生由“好奇”带入“小惑”的状态，接着教师指出：猫只注意到10米这一数量是无法追上老鼠的，因此必须引进一个新的量——向量，这样使学生认识到学习向量的必要性. 同时得出猫不仅要多跑10米，而且还要跑对方向才能追上老鼠，这样让学生解“惑”，并且初步接触向量的两个本质特征：长度和方向，从而引出向量的概念.

（4）从旧概念引入新概念

任何数学概念必定有与之相关的最近概念，因此教学中要以学生已掌握了的知识为基础，从学生的最近概念出发，引导学生探求新旧概念之间的区别和联系. 这样有助于学生形成相互联系的知识，提高学生对数学知识之间的整体认识.

案例6 “函数”概念的引入，初中学生已有的知识是“对于给定区间上的每一个值x都有唯一的一个值y与之对应，则x就是y的函数”的直观理解，在此基础上我们用集合的语言，从映射的观点出发来讲解函数的概念.

（二）注重对概念的理解，在教学中渗透数学思想方法

数学概念是为了解决数学问题，对概念理解不深刻，解题时就会出现这样或那样的错误，要正确而深刻地理解一个概念并不是一件容易的事，教师要根据学生的知识结构和能力特点，从多方面着手，适当地引导学生正确地分析解剖概念，充分认识概念的科学性，抓住概念的本质. 因此，教师要充分利用概念课，培养学生的能力，训练学生的思维，使学生认识到数学概念，既是进一步学习数学的理论基础，又是进行再认识的工具. 为此，我们可以从以下几个方面努力，加深对概念的理解.

（1）用准确的语言讲述概念

教学过程是教师向学生传授知识，培养能力的过程. 也就是教师按照既定教学目的，通过语言对学生有组织、有系统的影响过程. 因此，能否使用准确语言进行教学，特别是对一些概念的阐述，是关系着能否达到教学目的的关键. 很多有经验的教师常常用简练的语言解释和分析概念，用准确的数学语言定义概念. 用词准确与否会直接影响学生对概念的正确理解. 由于概念和解释的词语是密切关联着的，因此，在有关概念教学中，如果我们对解释概念所用词的含义讲得含混不清，必然会妨碍学生的正确思考，并且使他们对概念的理解和应用受到很大影响.

对于一些不能用实物、模型、图表等来说明的概念，在坚持用语准确的前提下，应尽量用一些生动有趣的语言、合理的比喻，配以恰当的手势和形体语言来帮助学生形成概念.

（2）用运动、发展、变化的观点深化概念

每个概念，都有它各自的确定含义，但随着事物的发展，知识的不断丰富，学习的逐步深入，有些概念也不断的发展和变化. 概念的确定和发展变化存在着辩证统一关系，正确处理好他们的关系，才能做到确切的形成和使用它.因此，在教学中通过对概念的限制和概括去揭露概念的本质，使学生认识到概念的确切的定义往往是相对的，在一定条件下，定义并非永远不变.

教学是循序渐进的过程，学生获得的知识是一点一滴积累起来的，经过一段时间的学习，教师要善于教给学生加工整理知识的方法，把有关知识串成知识链，编成网络，配以图示，纵横联系在一起，使学生获得的是一个完整的知识整体，从整体中看到部分，从部分中体现整体. 这样得到的知识才能牢固，学生学会了这种方法，书就会越念越薄，而能力却越来越强.

案例7 不等式的证明千变万化，但离不开一个基本性质a2≥0（a∈R），一个核心不等式a2+b2≥2ab（a，b∈R），许多不等式都可以从变换这两条性质出发推证出来.

（三）概念学习的策略

概念的学习除了教师要有比较科学合理的教学方法外，还要求学生有较好的学习概念的策略，即概念的学习也要遵循一般的学习规律. 比如

（1）皮亚杰的建构主义学习理论：皮亚杰认为学习从属于发展；知觉受制于心理运演；学习是一种能动建构的过程；偶尔的错误也是有意义的学习所必需的；同时他还认为否定也是一种有意义的学习.

（2）布鲁纳的发现学习理论：布鲁纳认为在数学学习中强调学习过程是相当重要的；强调直觉思维和内在动机的激发；同时他对记忆过程持比较激进的观点，他认为，人类记忆的首要问题不是储存，而是提取.

（3）布鲁姆的掌握学习理论：他认为学习程度是学生实际用于某一学习任务上的时间与掌握该学习任务所需时间的函数，即学习程度f=. 实际用于学习的时间量是由三个变量组成的：一是机会，即允许学习的时间；二是毅力，即学生愿意积极从事学习的时间；三是能力倾向，即在理想条件下掌握该任务所需要的时间. 所以要想提高有效学习程度，就要想办法让实际用于学习的时间量越大越好.

[?] 结束语

学好数学概念是理解数学思想，运用数学方法，掌握基本技能，提高数学能力的前提，教师在数学教学中要转变观念，使课堂教学由知识型向能力型转化，切实搞好数学概念教学，充分发挥数学概念教学的指导作用，全面提高学生的数学素养. 在新课标的指引下，教师要不断反思自己的教学，切实抓好概念课的教学，这是提高教学效率，减轻学生负担的有效途径；也是提高教学质量与教学水平，深化课程改革的必然要求.