证明等腰三角形性质的逆命题的几种方法

庞平飞

在上海的初中数学教材中，有些与全国的初中数学教材出入很大，有些真命题它不能直接作为定理使用，如上海教育出版社出版的九年义务教育课本八年级第一学期（适用本）举例证明例11的证明题，是证等腰三角形的三线合一定理的逆命题的。

已知：如图1，D是BC上的一点，且BD=CD，∠1=∠2。

求证：AB=AC。

错解一：学生错误地把三线合一的逆命题当作定理使用，直接写出AB=AC的结论。其实上海版的教材中没有此项逆定理。

错解二：学生利用两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等，实际上错误地利用边边角来证明。

在教学过程中，学生的分析能力不强，不清楚缺少什么条件，在平时的教学中可以引导他们思考：“缺少什么条件”，从哪里寻找这些条件，可以构造什么图形，然后有意识地寻找证明思路。这里有两个已知条件，角平分线和中线，利用中线来添辅助线，碰到中线加倍延长中线。把三角形的中线延长倍长是常用的辅助线添加方法。相当于把三角形旋转180°挖掘图形之间的联系。构造出不同的图形，证明思路方法略有不同，这是几何的微妙之处。下面通过对其多种解法的探究，我们不仅能体会到添加辅助线的重要性，还能从中感悟到添辅导线的规律，这些对于积累解题经验、提高解题技能是十分有益的。

方法一：如图2，延长AD到点E，使DE=AD，连接EC.由DE=AD，BD=DC， ∠ADB=∠CDE，知△ABD≌△ECD， 可得AB=EC，∠1=∠3，知∠3=∠2.由∠3=∠2，可知AC=EC，所以AB=AC.

碰到中线还想到中位线定理。

方法四：在平行四边形中，也存在线段的相等关系，因此构造平行四边形，再利用平行四边形的性质解题。如图5，过点D作DE∥AB交AC于点E，过点A作AF∥CB交DE 的延长线于点F，连接CF，知四边形ABDF是平行四边形，知AB=DF.因为点D是BC的中点，知四边形DCFA是平行四边形，知DE =EF，EC=AE，方法二已证AE=DE，可知DF=AC，所以AB=AC=DF.

方法五：在方法四的基础上，如果不利用平行四边形的性质，可利用全等三角形的性质。如图5，过点D作DE∥AB交AC于点E，过点A作AF∥CB交DE 的延长线于点F， 知四边形ABDF是平行四边形

因此在平时的教学中，作为教师，应该培养我们的学生一题多解能力，有意识地发展学生的思维训练，培养学生的思维能力，真正提高学生的解题能力。