半连续dcpo

刘玉连，李高林，徐罗山

（1.扬州大学数学科学学院，江苏扬州225002；2.盐城师范学院数学科学学院，江苏盐城224002）

半连续dcpo

刘玉连1＊，李高林1，2，徐罗山1

（1.扬州大学数学科学学院，江苏扬州225002；2.盐城师范学院数学科学学院，江苏盐城224002）

作为半连续格的推广，引入半素集和半连续dcpo的概念，并讨论半连续dcpo的性质，在半连续dcpo中得到类似于半连续格的一些主要结果.同时研究了dcpo的内蕴拓扑——半Scott拓扑、半Lawson拓扑，证明了上集U半Lawson开当且仅当U为半Scott开，下集U半Lawson闭当且仅当U为半Scott闭.最后研究了半连续映射，证明了若保序映射f半连续，则f关于半Scott拓扑是连续映射.

半素集；半连续dcpo；半Scott拓扑；半连续映射

由于连续格理论［1］具有理论计算机科学和数学的双重背景，因此从它诞生以来一直受到人们的广泛关注，其中一个重要方面就是尽可能地将连续格理论推广到更为一般的序结构上去.在文献［2］中，RAV在格上定义了半素理想并进行了刻画；赵东升在文献［3］中利用半素理想在完备格上定义了新的二元关系“”和半连续格概念，将连续格的若干性质推广到半连续格上.目前，关于半连续格的研究有较多报道.李庆国等［4］研究了半连续格与完全分配格之间的关系；毕含宇等［5］在完备格上引入半Scott拓扑和半Lawson拓扑，并讨论了半连续格上的半Scott拓扑和半Lawson拓扑的基本性质；伍秀华等［6］利用半Scott拓扑给出半连续格的等价刻画，并研究了半连续格上的半连续映射；李高林等［7］在半连续格中引入半基和局部半基，研究了半连续格的性质和刻画；姜广浩［8］探讨了半连续格的伪素元和弱素元.这些研究逐步扩充了半连续格理论.由于半连续格是在完备格中定义的，因此对半连续性的研究具有一定的局限性.为摆脱这种局限，一方面可以像文献［9］处理连续偏序集一样利用定向完备化探讨一般序结构的半连续性及其与半连续格的关系，这方面工作还没有开展；另一方面可利用适当的子集系统Z定义所谓的Z－半连续偏序集，POWERS等［10］已开展了这方面的研究.但由于子集系统Z的不确定性和广泛性，从而对Z－半连续偏序集的研究难以深入，也较难得到新的有意义的结论.在本文中，笔者先将格上的半素理想推广到偏序集上的半素集概念，然后在dcpo中定义半连续性并给出半连续dcpo的刻画和性质，同时将半连续格的诸多性质推广到半连续dcpo上.

1 预备知识

设（P，≤）是偏序集，DP.若对任意a，b∈D，存在c∈D，使得a≤c，b≤c，则称D是P的定向集.当定向集D的上确界存在时，记此上确界为∨↑D或sup D.若P的任意定向集D的上确界都存在，则称P是定向完备偏序集，简称dcpo.设SP，记↑S＝｛x∈P：a∈S，a≤x｝，称为S的上集；记↓S＝｛x∈P：a∈S，x≤a｝，称为S的下集；记S↓＝｛x∈P｜x≤y，y∈S｝，称为S的下界集；记S↑＝｛x∈P｜y≤x，y∈S｝，称为S的上界集.若IP是P的定向下集，则称I是P的理想.设I为P的理想，若L＼I为空集或L＼I为滤子，则称I为素理想.L的全体素理想记为PI（L）.如果P中任意子集都有上确界和下确界，则称P为完备格.

设P为dcpo，用表示P上的way below关系［1］49.如果x∈P，集｛u∈P：ux｝定向且x＝sup｛u∈P：ux｝，则称P为Domain；完备格L如果还是Domain，则称其为连续格.

定义1.1［2］105格L中的理想P称为半素理想，若x，y，z∈L，x∧y∈P且x∧z∈P，则有x∧（y∨z）∈P.L的全体半素理想记为Rd（L）.

引理1.2［2］112格L中的理想P是半素理想当且仅当存在L的一族素理想｛Pi｜i∈I｝使得P＝∩i∈IPi.

定义1.3［3］460设L是完备格，定义关系如下：a，b∈L，ab，对L中的任意半素理想P，若∨P≥b，则a∈P.记a＝｛x∈L｜xa｝.

定义1.4［3］460若a∈L，a≤∨（a），则称完备格L为半连续格.

定义1.5［1］134设L是偏序集，UL.如果满足条件：

1）U＝↑U；

2）对L的任一定向集D，当∨D存在且∨D∈U时，有U∩D≠，

则称U为L上的Scott开集.L的全体Scott开集构成P上的一个拓扑，称为Scott拓扑，记为σ（P）.

定义1.6［1］210设P是偏序集，以｛P＼↑x｜x∈P｝为子基生成的拓扑称为P的下拓扑，记为ω（P）.对偶地，以｛P＼↓x｜x∈P｝为子基生成的拓扑称为上拓扑，记为ν（P）.以σ（P）∪ω（P）为子基生成的拓扑称为Lawson拓扑，记为λ（P）.

2 半连续dcpo

定义2.1 设L是偏序集，SL.若有一族素理想｛Pi｝i∈I使得S＝∩i∈IPi，则称S为半素集.

定义2.2 设L是偏序集，x，y∈L.若对任一半素集SL，当∨S存在且∨S≥y时可推出x∈S，则称xy.用x表示集｛y∈L｜yx｝，x表示集｛y∈L｜xy｝.

定义2.3 设L是dcpo.若对任意x∈L，x∈（x）↑↓，则称L是半连续的.

注2.4 1）一般地，半素集不必为理想.反例如下：设L＝｛x1，x2，x3，…｝∪｛a，b｝，定义≤关系，使得i≤j，xi≤xj，a，b≤xi，i∈Z＋，则每一主理想↓xi是素理想，但半素集∩｛↓xi｝＝｛a，b｝不定向.

2）当L为完备格时，半素集一定为理想，从而是半素理想，且“”的定义与文献［3］460中的定义一致.注意到（x）↑↓＝↓（∨x），因此本文定义的半素集和半连续性是文献［2］112半素理想和［3］460定义的半连续概念的合理推广.

命题2.5 设L为dcpo，则x＝∩｛S｜S为半素集，若∨S存在且∨S≥x｝＝∩｛P｜P为素理想且∨P≥x｝.

证明 由定义2.1和定义2.2并注意到每一个素理想均为半素集即得.

由命题2.5知x是一个半素集且有下面的推论.

引理2.8 设A，B为偏序集P的子集.若AB，则有A↑↓B↑↓和A↓↑B↓↑.

证明 若AB，则A↑B↑，A↓B↓，从而有A↑↓B↑↓和A↓↑B↓↑.

命题2.9 设L为Domain，则L为半连续dcpo.

命题2.10 设L是dcpo.若x∈L，都存在半素集Px且x∈P↑↓，则L是半连续的.

证明 对任意x∈L，由条件存在半素集Px且x∈P↑↓，由引理2.8得P↑↓（x）↑↓，故x∈（x）↑↓.由定义2.3知L为半连续dcpo.

命题2.11 设L为dcpo，则下列条件等价：

1）L为半连续的；

2）x∈L，x是使x∈S↑↓的最小的半素集S；

3）x∈L，存在最小半素集Sx使得x∈S↑↓.

证明 1）2）：由命题2.5知，对任意x∈L，x为半素集.由于L为半连续的，故对任意x∈L，有x∈（x）↑↓.反过来，对任意x∈L，当S为半素集且x∈S↑↓时，下证xS.设y∈x，由S为半素集知存在一族素理想｛Pi｝i∈I使得S＝∩i∈IPi.由引理2.8知，对任意i∈I，有x∈S↑↓（Pi）↑↓＝↓（∨Pi），于是x≤∨Pi，从而由y∈x得y∈Pi.再由i∈I的任意性得y∈∩i∈IPi＝S，因此xS，即x是满足x∈S↑↓的最小半素集S.

2）3）：由2）知，存在最小的半素集S＝x，使得对任意x∈L有x∈S↑↓.

3）1）：由命题2.10即得.

3 半Scott拓扑和半Lawson拓扑

定义3.1 设L为dcpo，UL.若L满足

1）U＝↑U；

2）P∈PI（L）且∨P∈U，有P∩U≠，

则称U为L中的半Scott开集.L中半Scott开集全体构成一拓扑，称为半Scott拓扑，记作σs（L）.半Scott开集的余集称为半Scott闭集.

命题3.2 设L为dcpo，则对任意x∈L，有L＼↓x∈σs（L），从而↓x是半Scott闭集.

证明 首先L＼↓x为上集.设P为L中的素理想，∨P∈L＼↓x.假设P∩（L＼↓x）＝，则P↓x，∨P≤∨（↓x）＝x，这与∨P∈L＼↓x矛盾，故P∩（L＼↓x）≠.由定义3.1知L＼↓x∈σs（L），从而↓x是半Scott闭集.

定义3.3 设L为dcpo，UL.称U具有性质（S）是指：P∈PI（L），若∨P∈U，则y∈P，使得x∈P且x≥y时，有x∈U.

命题3.4 在dcpo L中，下列结论成立：

1）一个集是半Scott闭的当且仅当它是下集且对素理想并封闭；

2）x∈L，↓x＝｛x｝－（关于σs（L））；

3）σs（L）是T0拓扑；

4）每个上集都是半Scott开邻域的交；

5）一个集U是半Scott开的当且仅当它是上集且有性质（S）；

6）每个下集有性质（S）；

7）有性质（S）的所有子集构成一个拓扑.

证明 可利用命题3.2仿文献［5］77中注记2.1的证明，从略.

命题3.5 设L为dcpo，若U＝↑U且U∪｛x｜x∈U｝，则U∈σs（L）.

证明 设P∈PI（L），∨P∈U，由条件知存在x∈U，使得∨P∈x，即x∨P，故x∈P；从而x∈U∩P≠，又U＝↑U，因此U∈σs（L）.

命题3.6 设L为dcpo，如果任意U∈σs（L）有U∪｛x｜x∈U｝，则L为半连续dcpo.

证明 要证x∈L，x∈（x）↑↓.用反证法.若x（x）↑↓，则存在y∈（x）↑使得xy，从而x∈L＼↓y∈σs（L）.由条件知存在z∈L＼↓y，使得x∈z，即z∈x，故z≤y，这与z∈L＼↓y矛盾；因此对任意x∈L，有x∈（x）↑↓，故L为半连续dcpo.

定义3.7 设L为dcpo，由σs（L）∪ω（L）作为子基生成一拓扑，该拓扑称为L上的半Lawson拓扑，记为λs（L）.

注3.8 由σ（L）σs（L）知λ（L）λs（L）.又因λs（L）有一个由｛U｜U∈σs（L）｝∪｛L＼↑x｜x∈L｝构成的子基，从而｛U＼↑F｜U∈σs（L），F有限｝是λs（L）的基，并且每个U∈σs（L）和L＼↑F都有性质（S），故每个U＼↑F及所有半Lawson开集都有性质（S），其中F是L的有限子集.

命题3.9 设L为dcpo，则λs（L）为T1拓扑.

证明 x∈L，注意到L＼↓x∈σs（L）且L＼↑x∈ω（L），故↓x和↑x是λs（L）中的闭集；因此｛x｝＝↓x∩↑x是Lawson闭的，从而λs（L）为T1拓扑.

命题3.10 设L为dcpo，则有

1）上集U半Lawson开当且仅当U为半Scott开；

2）下集U半Lawson闭当且仅当U为半Scott闭.

证明 1）由σs（L）λs（L）知每个半Scott开集是半Lawson开集.反之，由注3.8知每个半Lawson开集有性质（S），再由命题3.4之5）知半Lawson开上集是半Scott开集.

2）利用与1）对偶的证法易证.

证明 首先x∈L，x为上集.又P∈PI（L），若∨P∈x，即x∨P，由插入性知存在z∈L使得xz∨P，则由推论2.6得z∈P；从而z∈x∩P≠，故x为半Scott开集.

证明 设P∈PI（L）且∨P≥y，则∨P∈intσs↑x，故p∈P∩intσs↑xP∩↑x，从而p∈P且p≥x；又P为素理想，故x∈P，因此xy.

命题3.13 设L为dcpo，｛yn｜n∈Z＋｝L.若…yn…y2y1，则∪｛yn｜n∈Z＋｝为半Scott开集.

证明 首先∪｛yn｜n∈Z＋｝为上集，设S为素理想且∨S∈∪yn，则存在某个使得∨S∈，则有∈S，从而∈S∩∪yn≠，因此∪｛yn｜n∈Z＋｝为半Scott开集.

4 半连续映射

定义4.1 设L，M为dcpo.若f保序且P∈PI（L），有↓f（P）∈PI（M），则称映射f：L→M为素保持的.

定义4.2 设L，M为dcpo.若f保序且P∈PI（L），有f（∨P）＝∨f（P），则称映射f：L→M为保素理想并的.

定义4.3 设L，M为dcpo.若P∈PI（L），f（∨P）＝∨f（P）且↓f（P）∈PI（M），则称映射f：L→M为半连续映射.

定理4.4 设L，M为dcpo，f：L→M.考虑下列条件：

1）f相对于L，M的半Scott拓扑连续；

2）f保素理想并，

则1）2）；若f仍为素保持的，则有2）1）.

证明 可仿文献［5］79命题3.2的证明，这里从略.

推论4.5 设L，M为dcpo.若保序映射f：L→M是半连续映射，则f为（L，σs（L））到（M，σs（M））的连续映射.

定理4.6 设P，Q为dcpo，（g，d）为从P到Q的Galois联络.若g是半连续映射，则d保关系，即对任意x，y∈Q，xy蕴含d（x）d（y）.

定理4.7 设L为dcpo，M为半连续dcpo，（g，d）为L与M间的Galois联络［1］22，且对任意x∈M，x是理想.若g是半连续映射且为单射，则L为半连续dcpo.

证明 由于（g，d）为L与M之间的Galois联络，g为单射，故d为满射；于是x∈L，存在y∈M使得d（y）＝x.由于M为半连续dcpo且对任意x∈M，x是理想，故有y≤∨y.又由d是下伴随保并知x＝d（y）≤d（∨y）＝∨d（y），故x∈↓∨d（y）.z∈M，若z∈y，则zy.由定理4.6知d（z）d（y），即d（z）∈d（y），从而d（y）d（y）；故x∈↓∨d（y）（d（y））↑↓＝（x）↑↓，因此x∈L，有x∈（x）↑↓，从而L为半连续dcpo.

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［5］ 毕含宇，徐晓泉.半连续格上的半Scott拓扑与半Lawson拓扑［J］.模糊系统与数学，2008，22（2）：75－81.

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Abstract：As a generalization of semicontinuous lattices，the concepts of semiprime sets and semicontinuous dcpos are introduced.Basic properties of semicontinuous dcpos are discussed.The main results of the theory of semicontinuous lattices are carried to semicontinuous dcpo.Moreover，some intrinsic topologies—the semi－Scott topology and the semi－Lawson topology on semicontinuous dcpos are investigated.It is proved that an upper set Uis semi－Lawson open iff it is semi－Scott open；a lower set Uis semi－Lawson closed iff it is semi－Scott closed.Finally the concept of semicontinuous mapping is introduced，it is showed that if fis order preserving and semicontinuous，then fis continuous with respect to the semi－Scott topologies.

Keywords：semi－prime set；semicontinuous dcpo；semi－Scott topology；semicontinous mapping

（责任编辑 时 光）

Semicontinuous dcpos

LIU Yu－lian1＊，LI Gao－lin1，2，XU Luo－shan1
（1.Sch of Math Sci，Yangzhou Univ，Yangzhou 225002，China；2.Sch of Math Sci，Yancheng Teachers’Coll，Yancheng 224002，China）

O 153.1；O 189.1

A

1007－824X（2012）02－0001－05

2012－01－11

国家自然科学基金资助项目（61074129，61103018，11101352）；江苏省自然科学基金资助项目（BK2010313，BK2011442）；国家重点实验室开放课题（SKLSDE－2011KF－08）；盐城师范学院资助项目（11YCKL001）

＊联系人，E－mail：liuyulian886688＠163.com