带干扰的两类理赔更新风险模型的Gerber-Shiu函数

王 杰, 程建华

(1. 吉林师范大学 课程与教学论研究所, 吉林 四平 136000; 2. 吉林大学 数学学院, 长春 130012)

0 引 言

风险理论是精算学研究的核心内容, 近年来, 人们开始关注两类理赔的风险模型：

U(t)=u+ct-S(t),t≥0,

(1)

其中:U0=u表示初始盈余;c>0为单位时间的保费收入; {S(t),t≥0}表示累积理赔额过程, 并且假设S(t)包含两类保险风险：

(2)

模型(1)用于描述保险公司的多险种盈余过程. 文献[1-2]假设{N1(t),t≥0}和{N2(t),t≥0}分别是Poisson过程和广义Erlang(2)过程, 研究了模型的破产概率和Gerber-Shiu函数; 文献[3]考虑了{N2(t),t≥0}是广义Erlang(n)过程的情形; 文献[4]则将其推广到两类理赔的到来过程都是以时间间隔为Phase分布的更新过程; 文献[5-6]研究了此类模型的分红问题. 由于保险公司的盈余会受市场和其他竞争因素的影响, 因此文献[7]用布朗运动描述这种影响, 提出了带干扰的风险模型. 本文考虑带干扰的两类理赔更新风险模型, 推广了文献[4]的结果.

1 模型简介

考虑如下盈余过程：

U(t)=u+ct-S(t)+σW(t),t≥0,

(3)

其中: {W(t),t≥0}是一个标准的布朗运动;σ>0为扰动系数. 令{Vi,i≥1}和{Wi,i≥1}分别表示第一类理赔时间间隔和第二类理赔时间间隔, 即N1(t)=max{i:V1+…+Vi≤t},N2(t)=max{i:W1+…+Wi≤t}. 假设{Vi,i≥1}和{Wi,i≥1}都是非负i.i.d.随机变量列, 共同的分布函数和密度函数分别为F,f和G,g, 并且满足如下假设条件.

3) 假设安全负载条件成立, 即c>EX1/EV1+EY1/EW1.

对于模型(3), 令T=inf{t≥0,U(t)≤0}(inf{Ø}=∞)表示破产时间,φ(u)=P(T<∞U(0)=u)为破产概率,U(T-)为破产前瞬时盈余,U(T)为破产时赤字. 为统一描述这些风险变量, 文献[9]提出了期望折现罚金函数, 即Gerber-Shiu函数：

Φ(u)=E[e-δTω(U(T-),U(T))I(T<∞)U(0)=u],

其中:δ>0;ω(x,y),x≥0,y≥0, 是使得上述期望存在的非负实函数;I(C)表示集合C的示性函数.

由于模型带有干扰, 破产可能由理赔导致, 也可能由扰动导致, 因而Gerber-Shiu函数可以分成两部分, 记作Φ(u)=Φs(u)+Φd(u), 其中:

Φs(u)=E[e-δTω(U(T-),U(T))I(T<∞,U(T)<0)U(0)=u];

Φd(u)=ω(0,0)E[e-δTI(T<∞,U(T)=0)U(0)=u].

根据定义, 易知Φs(0)=0,Φd(0)=Φ(0)=ω(0,0), 不失一般性, 假设ω(0,0)=1.

进一步, 定义一个与破产相关的随机变量K:K=k(k=1,2), 如果破产由第k类理赔导致, 则Φs(u)可以分解为Φs(u)=Φ1,s(u)+Φ2,s(u), 其中

Φk,s(u)=E[e-δTω(U(T-),U(T))I(T<∞,K=k,U(T)<0)U(0)=u],k=1,2.

易知{(I(t),J(t)),t≥0}是一个二维Markov链, 状态空间为

{(E1,F1),…,(En,F1),(E1,F2),…,(En,F2),…,(E1,Fm)…,(En,Fm)},

初始分布为γ=β⊗α, 密度矩阵为

D=Im×m⊗A+B⊗In×n+Im×m⊗(aTα)+(bTβ)⊗In×n,

其中⊗表示Kronecker乘积.

定义给定初始状态(I(0),J(0))=(Ei,Fj)的Gerber-Shiu函数为

Φij,k,s(u)=E[e-δTω(U(T-),U(T))I(T<∞,K=k,U(T)<0)U(0)=u,(I(0),J(0))=(Ei,Fj)],

Φij,d(u)=E[e-δTω(U(T-),U(T))I(T<∞,U(T)=0)U(0)=u,(I(0),J(0))=(Ei,Fj)].

易知Φk,s(u)=γΦk,s(u),k=1,2;Φd(u)=γΦd(u), 其中:

Φk,s(u)=(Φ11,k,s(u),…,Φn1,k,s(u),Φ12,k,s(u),…,Φn2,k,s(u),…,Φ1m,k,s(u),…,Φnm,k,s(u))T;

Φd(u)=(Φ11,d(u),…,Φn1,d(u),Φ12,d(u),…,Φn2,d(u),…,Φ1m,d(u),…,Φnm,d(u))T.

2 Gerber-Shiu函数满足的积分微分方程

定理1对于u≥0, Gerber-Shiu函数满足下列积分微分方程：

证明: 类似文献[10], 在无穷小时间段[0,t]内, 考虑盈余过程是否发生理赔和{(I(t),J(t)),t≥0}状态是否改变, 可得

其中V(t)=u+ct+σW(t). 在式(7)两边除以t, 令t→ 0, 并注意到Taylor展式：

通过计算可得式(4). 同理可得式(5)和式(6). 证毕.

将式(4)～(6)写成矩阵形式为

⊗aT)ω1(u),

(8)

(9)

(10)

其中:L=δImn×mn-Im×m⊗A-B⊗In×n;H(x)=Im×m⊗(aTα)p(x)+(bTβ)⊗In×nq(x). 对式(8)～(10)两边取Laplace变换, 可得

(11)

(12)

(13)

方程Aδ(r)=0称为广义Lundberg方程, 它的根对于解答上述积分微分方程有重要作用. 类似于文献[4]中的定理3.1和文献[11]中的定理1, 可得如下引理:

引理11) 若δ>0,Aδ(r)=0有mn个实部为正的复根; 2) 若δ=0,Aδ(r)=0有一个零根和mn-1个实部为正的复根.

为方便, 简记这些根为τ1,τ2,…,τmn.

3 Gerber-Shiu函数的解析解

当σ=0时, 文献[4]得到了Gerber-Shiu函数的Laplace变换, 并在理赔额服从一类特殊分布时, 取逆Laplace变换, 得到了Gerber-Shiu函数的表达式. 本文采用不同的方法, 当理赔额服从一般分布时, 得到Gerber-Shiu函数的解析解.

由文献[12]可知

(14)

结合齐次积分微分方程

(15)

有如下结果.

⊗aT)ω1(x)]dx,

(16)

(17)

(18)

其中:

(19)

(20)

(21)

这里*表示伴随矩阵.

证明: 因为M(u)的列是方程(15)的解, 所以

(22)

(23)

类似地, 有

(24)

结合式(11), 有

取逆Laplace变换可得式(16). 下面证明式(19). 由式(11), 可得

⊗aT),i=1,2,…,mn,

从而

递推可得

⊗aT),

再结合式(14), 即可得式(19). 类似地, 可以得式(20).

记ξ(r)=Dr+c, 则

易见M(u)和N(u)在定理2的结论中有重要作用, 由式(23)和(24)可知

M(u)=L-1{[Aδ(s)]-1(Ds+c)},

(25)

N(u)=L-1{[Aδ(s)]-1D},

(26)

其中L-1表示逆Laplace变换.

4 M(u)和N(u)的表达式

假设理赔额的密度函数p和q都属于有理分布族, 即

(27)

其中:pl1-1(r)和ql2-1(r)分别是次数不高于l1-1和l2-1的多项式;pl1(r)和ql2(r)分别是次数为l1和l2的多项式; 它们都只有非正根, 且满足pl1(0)=pl1-1(0)和ql2(0)=ql2-1(0). 不失一般性, 假设pl1(r)和ql2(r)的最高次数项系数为1. 有理分布族是一类很广的分布族, 它包含了指数分布、 Erlang分布、 Phase分布及这些分布的各种混合.

令v(r)=[pl1(r)ql2(r)]mn, 由式(25)可得

注意到v(r)Aδ(r)是一个系数为Dmn的(l1+l2+2)mn次多项式, 可以把上述等式写为如下形式：

其中: -R1=τ1,…,-Rmn=τmn和-Ri(i=mn+1,…,(l1+l2+2)mn)是方程v(r)Aδ(r)=0的根;τ1,…,τmn是方程Aδ(r)=0的根.

取逆Laplace变换可得

(28)

同理可得

(29)

例1当δ=0,ω(x,y)=1, Gerber-Shiu函数Φ1,s(u),Φ2,s(u)和Φd(u)分别简化为破产概率φ1,s(u),φ2,s(u)和φd(u). 假设理赔额均服从指数分布：

p(x)=λ1e-λ1x,q(x)=λ2e-λ2x,λ1>0,λ2>0,x≥0.

取c=3,α1=α2=0.5,a11=-1,a12=0.5,a21=1,a22=-2,β1=1,b11=-2,λ1=1,λ2=2,σ=1. 容易验证c>EX1/EV1+EY1/EW1=0.666 7+1=1.666 7.

解方程(r+λ1)2(r+λ2)2A(r)=0, 得R1=1,R2=0,R3=-0.843 806,R4=0.510 267,R5=1.414 616,R6=1.521 888,R7=7.007 415,R8=7.389 619. 由定理2, 计算可得

[1] LI Shuan-ming, Garrido J. Ruin Probabilities for Two Classes of Risk Processes [J]. Astin Bulletin, 2005, 35(1): 61-77.

[2] LI Shuan-ming, LU Yi. On the Expected Discounted Penalty Functions for Two Classes of Risk Processes [J]. Insurance: Mathematics and Economics, 2005, 36(2): 179-193.

[3] ZHANG Zhi-min, LI Shuan-ming, YANG Hu. The Gerber-Shiu Discounted Penalty Function for a Risk Model with Two Classes of Claims [J]. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2009, 230(2): 643-655.

[4] JI Lan-peng, ZHANG Chun-sheng. The Gerber-Shiu Penalty Functions for Two Classes of Renewal Risk Processes [J]. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2010, 233(10): 2575-2589.

[5] Chadjiconstantinidis S, Papaioannou A D. Analysis of the Gerber-Shiu Function and Dividend Barrier Problems for a Risk Process with Two Classes of Claims [J]. Insurance: Mathematics and Economics, 2009, 45(3): 470-484.

[6] LU Zhao-yang, XU Wei, SUN De-cai, et al. On the Expected Discounted Penalty Functions for Two Classes of Risk Processes under a Threshold Dividend Strategy [J]. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2009, 232(2): 582-593.

[7] Dufresne F, Gerber H U. Risk Theory for the Compound Poisson Process That Is Perturbed by Diffusion [J]. Insurance: Mathematics and Economics, 1991, 10(1): 51-59.

[8] Asmussen S, Albrecher H. Ruin Probabilities [M]. 2nd ed. Singapore: World Scientific, 2010.

[9] Gerber H U, Shiu E S W. On the Time Value of Ruin [J]. North American Actuarial Journal, 1998(2): 48-78.

[10] LI Shuan-ming, LU Yi. Moments of the Dividend Payments and Related Problems in a Markov-Modulated Risk Model [J]. North American Actuarial Journal, 2007, 11(2): 65-76.

[11] YANG Hu, ZHANG Zhi-min. When Does Surplus Reach a Given Target before Ruin in the Markov-Modulated Dicusion Model [J]. Journal of the Korean Statistical Society, 2010, 39(2): 207-219.

[12] LU Yi, LI Shuan-ming. The Markovian Regime-Switching Risk Model with a Threshold Dividend Strategy [J]. Insurance: Mathematics and Economics, 2009, 44(2): 296-303.