矩阵型网络DEA模型解的存在性及其性质

程 昀, 杨印生, 盛学之

(1. 吉林大学 管理学院, 长春 130025； 2. 山东大学威海分校 机电与信息工程学院, 山东 威海 264209；3. 密歇根州立大学 数学系, 美国 东兰辛 48823)

网络DEA[1]主要针对复杂系统相对有效性(简称效率)的求解问题. 常见的复杂系统有链式结构、 环型结构和复合结构, 分别如图1～图3所示. 这些复杂结构的系统统称为网络结构, 求解其效率的DEA方法统称为网络DEA方法. 文献[2-6]以供应链系统结构为主, 构建了串型系统DEA效率评价模型； 文献[7-10]针对并型独立子系统提出了一系列DEA效率评价模型; 文献[11]基于静态情形, 得到了以效率区间表示的环型系统效率. 但对于如图3所示的不同阶段、 不同层次的子系统都存在投入产出关系, 每个子系统还存在外部投入产出关系, 系统之间构成很多环型结构的这类复合系统, 目前对其提出具体的网络DEA模型报道较少.

图3所示的系统内部纵横交错, 类似多维矩阵的形式, 该类系统称为矩阵型网络系统. 基于生命周期评价(LCA)的供应链管理系统、 投入产出系统等均为此类结构形式. 对于3个子系统的矩阵型网络结构, Amatatsu等[12]在SBM模型[13-14]的基础上, 提出一个网络DEA模型, 但未对该模型解的存在性及性质进行讨论. 本文针对图3所示的n个子系统的矩阵型网络结构进行分析, 提出了求解其效率的网络DEA模型, 证明了新模型解的存在性, 给出了决策单元弱DEA有效性的定义, 并讨论了决策单元的弱DEA有效性与相应多目标规划弱Parteo解的关系.

图1 链式结构的串型结构(A)和并型结构(B)Fig.1 Serial stucture (A) and parallel stucture (B) of chain stucture

图2 环型结构Fig.2 Ring structure

图3 复合结构Fig.3 Composite structure

1 矩阵型网络系统DEA模型及其对偶

(1)

易得矩阵型网络DEA模型(1)的对偶模型如下：

(2)

显然, 矩阵型网络DEA模型及其对偶模型均为线性规划模型.

2 矩阵型网络DEA模型解的存在性

(3)

(4)

将不等式(3)中的l=1,2,…,m累加, 得

整理可得

(5)

由对偶理论可知, 模型(1)与对偶模型(2)的最优值相同, 即

3 矩阵型网络DEA模型解的性质

考虑如下多目标规划：

(6)

其中

为矩阵型网络DEA模型(1)的生产可能集.

定义2设(X*,Y*)∈T, 若不存在(X,Y)∈T, 使得F(X,Y)

引理1设(X0,Y0)为多目标规划(6)对应的线性加权问题

的最优解, 若(ω0T,μ0T)≥0, 则(X0,Y0)为多目标规划(6)的弱Pareto解.

定理2若决策单元DMUj 0是弱DEA有效的, 则(X0,Y0)必为多目标规划(6)的弱Pareto解.

且k≠l,

(11)

则由式(8)可知

(12)

进一步整理不等式(12)左边后两项可得

再结合不等式(11)可得

(13)

则

(14)

因此, 对∀(X,Y)∈T, 结合式(14)有

即(X0,Y0)为多目标问题(6)相应于以ω*,μ*≥0为权的如下线性加权和问题的最优解:

从而由引理1知, (X0,Y0)为多目标问题(6)的弱Pareto解.

综上, 本文通过建立矩阵型网络DEA模型解决了矩阵型网络结构的效率评价问题. 新模型的性质表明, 新模型在矩阵型网络结构的效率评价方面可行、 有效.

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