弱n次积分半群拓扑

毕 伟

(延安大学 学报编辑部，陕西 延安 716000)

1 预备知识

设(X，‖·‖)为 Banach 空间，(X，‖·‖)'为 X 的共轭空间，B(X)为X到X的有界线性算子的全体，A是X中的线性算子，R(λ，A)、ρ(A)分别表示 A的预解式、预解集。

定义1.1［1］设 n∈N，称强连续算子族{T(t)，t≥0}⊆B(X)是(X，‖·‖)中的n次积分半群，如果:

又称T(t)是非退化的，如果T(t)x=0(t≥0)蕴涵x=0.

定义1.2［1］设A为Banach空间X中的闭线性算子(不必稠定)，n为非负整数，若存在X中的强连续算子族{T(t)，t≥0}⊆B(X)以及常数ω≥0，M≥0，满足‖T(t)‖≤Meωt(t≥0)使得(ω，+∞)⊂ρ(A)及

2 主要结果

对∀λ ＞ ω 及 x'∈(X，‖·‖)'，令 Pλ，x'(x)=|x'［R(λ，A)x］|，x∈X，则利用 n 次积分半群的定义可以验证，对∀x，y∈X及λ＞ω有:

即Pλ，x'(x)是X上的一拟范数，从而由拟范数族S={Pλ，x':λ＞ω}可以诱导出一局部凸向量拓扑，记为τ.

定义2.1 由上述拟范数族 S={Pλ，x':λ ＞ ω}导出的X上的局部凸向量拓扑，称为X的相对于x'的弱n次积分半群拓扑，相应的局部凸线性拓扑空间记为(X，τ).

引理2.1［2］设E是线性空间，A1、B1是E上的两族拟范数，则由A1确定的拓扑弱于由B1确定的拓扑的充要条件是:对于每个 q∈A1，必存在 p1，p2，…，pm∈B1以及正数c1，c2…，cm使得对一切x∈E下式成立:

定理2.1 由范数所导出的局部凸向量拓扑强于X上的弱n次积分半群拓扑。

证明 因为对∀λ ＞ω，x'∈X'及x∈X，有:

Pλ，x'(x)=|x'［R(λ，A)x］|≤‖x'‖·‖R(λ，A)‖·‖x‖再根据引理2.1，定理得证。

定义2.2 在一局部凸线性拓扑空间X中，若对于任意的 Cauchy序列{xn}，{x'［R(λ，A)xn］}(λ＞ω)都收敛，则称X相对于x'是弱n次积分半群完备的。

定理2.2 局部凸线性拓扑空间(X，τ)是弱n次积分半群完备的。

证明 设{xn}是(X，τ)中的任意Cauchy序列，则对于任意连续拟范数q(x)及ε＞0，集合U={x:q(x)＜ε}构成零的一个环境，从而必存在自然数N，使得当n，m ＞N 时，有(xn－xm)∈U，即 q(xn－xm)＜ ε，特别地，对∀Pλ，x'(x)∈S 有

可知{x'［R(λ，A)xn］}(λ ＞ ω)是一 Cauchy数列，从而必收敛。再由定义2.2可得(X，τ)是弱n次积分半群完备的。

定理2.3 设{T(t)，t≥0}是非退化的n次积分半群且x'≠0，则{T(t)，t≥0}诱导出的弱 n次积分半群拓扑τ是分离的。

证明 因为{T(t)，t≥0}是非退化的，即若对∀t有 T(t)x=0，那么必有 x=0，所以对∀x≠0，有

从而对∀x≠y，即x－y≠0，必存在一 α∈(ω，+∞)使得 Pα，x'(x)=3d ＞0，令 V={x:Pα，x'(x)≤1}，则 x的环境x+dV与y的环境y+dV互不相交，即弱n次积分半群拓扑τ是分离的。

对于不同的x'∈X'的弱n次积分半群拓扑之间的关系，有如下结果:

定理2.4 设 λ，μ ＞ ω 且 λ，μ∈ρ(A)，x'1，x'2∈X'，x'=αx'1+βx'2其中 α，β 为任意常数，则由拟范数族{Pλ，x'(x):λ＞ω}所导出的局部凸向量拓扑弱于由拟范数族{Pλ，x'1(x)，Pλ，x'2(x):λ ＞ ω}所导出的局部凸向量拓扑。

证明 因为对∀x∈X有:

再根据引理2.1，可得定理成立。

定理2.5 X上的弱n次积分半群拓扑弱于n次积分半群拓扑。

证明 因为对∀x＞ω，x'∈X'及x∈X有:

再根据引理2.1和n次积分半群拓扑的概念，可得定理成立。

［1］郑权.积分半群与抽象Cauchy问题［J］.数学进展，1992，21(3):257－273.

［2］夏道行，杨亚力.线性拓扑空间引论［M］.上海:上海科学技术出版社，1986.

［3］王晓梦，赵华新，常胜伟.积分半群拓扑［J］.延安大学学报(自然科学版)，2007，26(4):10 －11.