二次曲面的标准方程化为参数方程的一种简便方法

王贵军

(天水师范学院 数学与统计学院，甘肃 天水 741001)

二次曲面的标准方程中，没有xy、yz及xz这样的项，利用方程的这一特征，得到了将二次曲面标准方程化为参数方程的一种简便方法。

设二次曲面的标准方程为F(x，y，z)=0，由于其中不含xy、yz、xz这样的项，因而其方程可写成F1(x，y)+F2(z)=0(或 F1(x，z)+F2(y)=0，或 F1(y，z)+F2(x)=0)的形式，现仅对F1(x，y)+F2(z)=0的形式进行讨论，其余两种情形类似。

设二次曲面的标准方程可写为:

其中k为参数，则由二次曲面的方程有

(1)式是关于x和y的方程，可将其看作是平面曲线的方程，利用将平面曲线的方程化为参数方程的方法［1］得到(1)的参数方程为

(2)式可看成是关于k和z的方程，所以也是平面曲线的方程，将其化为参数方程为

由(3)式和(4)式消去参数k，即得二次曲面的参数方程为

现举例说明这种方法的应用。

由(3)式和(4)式消去参数k，即得单叶双曲面的参数方程为

由(2)式可得

从而由(3)式和(4)式得

由上述求解过程可以看出，如果二次曲面的方程中不含xy、yz及xz这样的项，即使其不一定是标准方程，这种求二次曲面参数方程的方法仍然是适用的。

例3 将二次曲面x2+2y2+z2－2x+4y－1=0化为参数方程。

解 此二次曲面的方程不是标准方程，但方程中不含xy、yz及xz这样的项，因此可以变形为F1(x，y)+F2(z)=0 的形式。

将二次曲面的方程改写为

将(1)化为参数方程为

将(2)化为参数方程为

由(3)式和(4)式消去k，即得此二次曲面的参数方程为

［1］王贵军.巧设参数求平面曲线的参数方程［J］.邢台学院学报，2011，26(4):176 －177.

［2］吕林根，许子道.解析几何第四版［M］.北京:高等教育出版社，2006.