悬链线的AH Bézier样条表示

李亚娟

(杭州电子科技大学理学院，浙江杭州310018)

0 引言

悬链线是在一条直线上滚动的抛物线的焦点的运动轨迹，发现于300多年前;是微积分、微分方程、微分几何、变分计算及数值分析中的一个重要课题［1－3］，被公认为是真实反映实际悬挂钢索的线形，为滑索工程设计提供了科学理论依据［4，5］。由于缺乏必要的精确表达工具，实际中关于悬链线的几何参数与力学参数的相关计算，一般都是通过数值逼近得到的。若能用控制多边形的方法来精确表示悬链线，则能在CAD中发挥其更强大的作用。鉴于悬链线的表达式中既包含一次多项式，又包含双曲正弦函数与双曲余弦函数，因此精确表示悬链线，必须选择多项式混合双曲函数空间的基。考虑利用多项式混合双曲函数空间［6－8］Γn+1=span{1，t，…，tn－2，sinh t，cosh t}的 AH Bézier样条基函数来精确表示悬链线，并给出反求的控制多边形。文献7用均匀代数双曲B样条对悬链线的表示进行了研究，并直接给出4个控制顶点，可以表示一段特殊的悬链线，但是并没有给出如何表示任意一段悬链线的方法。对于任意一段悬链线，本文给出AH Bézier样条基的精确表达式，并给出反求的控制顶点。

1 AH Bézier基函数

先给出AH Bézier基函数的表达式［8］。首先在空间Γ2=span{1，cosh t，sinht}上给定2个初始函数:B0，1(t)=sinh(α －t)/sinh α， B1，1(t)=sinh t/sinh α，t∈［0，α］，α ＞0，α 是形状因子。当 n ＞1 时，空间Γn+1=span{1，t，…，tn－2，sinh t，cosh t}中的 n 阶 AH Bézier基函数 {B0，n，B1，n，…，Bn，n}可以递推的定义为:

式中，δi，n=1/(t)dt，0＜i＜n，α是全局形状参数。特别地，给定4个控制顶点pi(i=0，…，3)，一条4阶AH Bézier曲线可以定义为:

2 悬链线的4阶AH Bézier表示

考察任意一段无荷重悬链线如图1所示。方便起见，选择悬链线的最低点作为原点，重力反方向作为y轴正向，则此段悬链线表达式为:c(u)=(u，a(cosh(u/a)－1))，b＜u＜c。为了对该悬链线进行精确表示，做线性变换u=(c－b)t/α+b，有:

图1 一条悬链线

根据未知量的个数与基函数的性质，可以断定所求AH Bézier曲线的控制顶点必为唯一一组。由于AH Bézier曲线的首末端点值与切矢值易于计算，有:

对式5两边求导，有:

分别令t=0，t=α，得到:

至此，所求4阶AH Bézier曲线的控制顶点均已经求得。如图2、3所示是两段无荷重悬链线用控制多边形表示的例子。以某大跨度悬索桥的参数作为计算资料，中跨跨度为600 m，主塔理论顶点高程均为196.24m，则所求控制多边形如图4所示。

图2 4阶AH Bézier曲线表示下的悬链线

图3 4阶AH Bézier曲线表示下的悬链线

图4 4阶AH Bézier曲线表示下的某大跨度悬索桥

3 结束语

如果不限定形状因子α，可以得到一族悬链线，这族悬链线均具有与原悬链线相同的端点与端点切矢，但是其中只有一条与原悬链线完全重合。在工程设计上可以利用4阶AH Bézier曲线的控制多边形对悬链线进行各种形状控制与高效求值。

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