曲率对车身A级曲面控制顶点排列的影响*

徐家川 薛远水 宋增祥 郑伟成

（山东理工大学）

1 前言

影响汽车车身曲面光顺质量和效率的根本因素是曲面控制顶点的排列[1]，良好的曲面控制顶点排列对于获得期望的形状和提高光顺效率具有重要意义。对于汽车车身A级曲面，其控制顶点的排列除与曲面的形状有关外，还与曲面的曲率和曲面与周边曲面的连续性有关。现有文献对曲面光顺准则仅提出控制顶点排列要规则有序[2,3]，或仅从连续性方面分析了曲面曲率对控制顶点排列的影响[4]，而没有对曲面的形状控制等进行探讨。针对上述情况，研究了曲面曲率大小对单个基本曲面及多个基本曲面控制顶点排列的影响，并讨论了曲率大小对过渡曲面控制顶点排列及其对过渡曲面形状控制问题。

2 汽车车身A级曲面的表示与Bézier曲面的连续性

2.1 汽车车身A级曲面的表示

汽车车身A级曲面用Bézier方法表示，其Bernstein基的表达式为[5]：

式中，p（u,v）为 Bézier曲面上的点，bi，j（i=0,1，···，m，j=0,1，···，n）为曲面的控制顶点；Bi，m（u）和 Bj，n（v）分别为u、v方向的Bernstein基函数。

图1为某车身顶盖曲面及其控制顶点，该曲面为 5×6 次 Bézier曲面。

2.2 Bézier曲面的连续性

在汽车车身A级曲面中，其过渡曲面在基本曲面之间进行过渡时，过渡曲面的两侧要与基本曲面相匹配。在这种情况下，若过渡曲面与基本曲面之间的连续性要达到曲率或以上连续，则过渡曲面在拼接方向上的次数应为5次（曲率连续）或7次（挠率连续）。

在车身曲面光顺实践中，在拼接边界的长度方向上，过渡曲面与基本曲面的控制顶点有相同的列数，若在拼接方向上每列控制顶点都满足曲率或以上连续的条件，则过渡曲面与基本曲面就满足曲率或以上连续，所以曲面的连续可归结为Bézier曲线的连续。

设2条n次Bézier曲线Г1末端和曲线Г2首端相拼接，要达到G2连续，首先曲线Г1末端和曲线Г2首端的控制顶点重合，即an=b0；同时，曲线Г1末端的2个控制顶点an-1和an与曲线Г2首端的2个控制顶点 b0和 b1共线，即 an-1-an=k（b0-b1），而且按照 an-1、an=b0、b1顺序排列，且有：

式中，△an-2=an-1-an-2、△an-1=an-an-1、△b0=b1-b0、△b1=b2-b1分别为控制顶点的差分矢量。

图2为2条n次Bézier曲线曲率连续的条件。

3 曲率对基本曲面控制顶点排列的影响

3.1 单个基本曲面控制顶点排列

车身A级曲面中的基本曲面曲率较小，即曲面相对较平坦，这样的曲面可采用单个Bézier曲面进行光顺，曲面控制顶点的排列则根据曲面在u、v方向的曲率大小确定，曲率大的区域曲面控制顶点密集一些，曲率小的区域曲面控制顶点稀疏一些。

对于图1所示的车身顶盖曲面，其沿u向的前部区域和后部区域的曲率较大，而中部区域的曲率较小，所以在该方向上前部和后部区域的控制顶点应密集，而中部区域的控制顶点可稀疏；其沿v向的整个曲面的曲率变化不大，所以该方向控制顶点的间距基本一致。这样布置的控制顶点不仅使曲面能够很好地贴近点云，提高曲面重构的精度，又能保持曲面符合车身造型的总体趋势。

3.2 复杂基本曲面控制顶点排列

车身A级曲面中的某些曲面在中部区域曲率较小，而在曲面的1个或几个边缘处的曲率很大。这样的曲面如果用单个曲面来拟合则构建时较难处理，所以通常在合适的位置将该曲面分成2个曲面，且曲率较小处的控制顶点排列稀疏，曲率大的区域则用密集的控制顶点表示曲面。

图3a为某微型商务车发动机罩，在其黑框线内的基本曲面中，前部区域的曲率很大，而中后部区域的曲率很小，所以应在前部合适位置将该曲面分成2个Bézier曲面。图3b为黑框线内基本曲面的分块及控制顶点排列，在其前、后方向上曲面前部区域的控制顶点非常密集，而后部曲面的控制顶点则较稀疏，密集的控制顶点使得曲面更贴近点云，利于大曲率曲面拼接到小曲率曲面上。这2个曲面的构建顺序是，先建立后部曲面，然后建立前部曲面，最后将前部大曲率曲面匹配到后部小曲率曲面上。

4 曲率对过渡曲面控制顶点排列的影响

为讨论曲率对过渡曲面控制顶点排列的影响，首先探讨曲率对过渡曲线控制顶点排列的影响。

4.1 曲率对过渡曲线控制顶点排列的影响

在2条曲线之间连接1条平滑的过渡曲线，该曲线控制顶点的排列受曲线曲率和曲线连续性的影响。图4表示在2条曲线C1和C2之间搭接1条光滑过渡曲线C3，若要求连续性在2阶以上，则该曲线的次数应在5次（6个控制顶点）以上，那么该曲线曲率的大小对控制顶点排列就有很大影响。

图4a中过渡曲线C3的曲率处于正常情况，故过渡曲线的控制顶点排列较均匀；图4b过渡曲线C3的曲率较小，所以其控制顶点在拼接点的两边较集中；图4c中过渡曲线C3的曲率更小（曲线近乎平直），其控制顶点在拼接点的两边更集中；图4d中过渡曲线C3的曲率较大，其控制顶点向曲线的中部聚集；图4e的过渡曲线C3曲率更大，其控制顶点在中部甚至出现了交叉；图4f的过渡曲线C3在与两边的曲线过渡过程中曲率大小有变化，使得曲线歪向一侧，其控制顶点则是一侧分散，一侧集中。

在曲面光顺过程中，图4a、图4b、图4d、图4f几种情况可根据过渡部分曲率的大小和变化情况以及与其它曲线的连续性，通过调整过渡曲线的弦高使控制顶点的排列来实现。而图4c和图4e的情况下容易出现畸变。

4.2 曲率对过渡曲面控制顶点排列的影响

曲面曲率较大的区域是连接2个基本曲面的过渡区域。与过渡曲线一样，过渡曲面处的曲率对控制顶点的排列也有很大影响，所以在构建过渡曲面时，应根据过渡曲面的曲率及其变化情况，采用合适的控制顶点排列使过渡曲面很好地贴近点云，并使之与基本曲面获得良好的连续性，提高曲面的光顺效率，而不当的控制顶点排列则会使曲面出现畸变。

图5所示的是基本曲面S1和S2在各种曲率下，过渡曲面S3控制顶点的排列及其曲面质量的曲率梳评价。图5a的过渡曲面曲率处于正常情况，其过渡曲面的控制顶点在拼接方向上排列较均匀，曲率梳由基本曲面向过渡曲面逐渐增大，达到极大值后再逐渐减小，过渡曲面在2个基本曲面之间具有良好的过渡，其本身也有良好的品质；图5b中的过渡曲面曲率较大，故在拼接方向上中间2排控制顶点向曲面中部集中，接近基本曲面处的曲率梳较小，并向过渡曲面的中部逐渐加大，在中部达到极大值，评价结果表明该过渡曲面也有良好的品质。这2种情况的控制顶点排列都可应用于汽车车身A级曲面的光顺中。

图5c中的过渡曲面曲率很大，所以中间2排控制顶点更密集，以致出现交叉，导致曲面出现畸变，从其曲率梳放大图也可看出，其曲率由基本曲面与过渡曲面拼接处先减小，然后再增大达到极大值，另一侧的变化与此对称，这在A级曲面的光顺中是不允许出现的情况；图5d是过渡曲面曲率较小的情况，这使得过渡曲面的控制顶点在拼接方向上向拼接的边界集中，过渡曲面较平坦，其曲率梳也出现了波动，即由基本曲面处开始先增大，达到极大值后减小，达到极小值再增大，达到极大值再减小，这种情况在A级曲面的光顺中也不允许出现。对于这2种情况，可以通过改变基本曲面与过渡曲面的拼接边界来改善控制顶点的排列，以获得高品质曲面。

图5e所示的是过渡曲面与两侧基本曲面拼接时两侧曲率出现歪斜的情况，即一侧曲率较大，另一侧较小，甚至出现反凹，这在汽车尾部进行鸭尾处理时经常用到。因此应使其过渡曲面较大曲率一侧控制顶点排列密集，而曲率较小一侧的控制顶点排列稀疏，这样可得到需要的曲面形状。

5 实例验证

在汽车车身A级曲面光顺中，过渡曲面曲率对基本曲面的控制顶点排列影响实例见图1和图3，这里不再赘述。

对于曲率对过渡曲面控制顶点排列的影响，以某轿车后备箱盖为例进行试验研究。图6为该轿车后备箱盖过渡曲面不同曲率及其控制顶点排列情况,S4、S5为后备箱上2个基本曲面，S6为两基本曲面之间的过渡曲面。

图6 a的后备箱过渡曲面S6曲率处于正常情况，其控制顶点排列均匀。如果过渡曲面曲率增大，则该曲面的控制顶点在曲面拼接方向上的中间位置排列密集，两侧稀疏，过渡曲面尖锐；而如果过渡曲面曲率减小，则控制顶点在拼接边界处排列密集，中间稀疏，过渡曲面平坦。

图6b的后备箱过渡曲面S6曲率两侧不均匀，与上部基本曲面S4拼接处的曲率小，与竖直基本曲面S5拼接处的曲率大，所以过渡曲面S6与上部基本曲面S4拼接处的控制顶点较稀疏，而与竖直基本曲面S5拼接处的控制顶点较密集，这使得此处构建出了一个鸭尾形状，且该鸭尾自左至右形状一致。

图6c的后备箱过渡曲面S6曲率不仅在拼接方向上有变化，而且左、右方向不同位置其拼接方向的曲率变化也不一致。在过渡曲面S6的左、右两端，在拼接方向上曲率变化不大，所以其两端控制顶点排列较均匀，过渡曲面S6与上部基本曲面S4拼接处的曲率从两端向中部逐渐减小，而与竖直基本曲面S5拼接处的曲率变化不大，因此其与上部基本曲面S4拼接处的控制顶点由两端向中部逐渐稀疏，在中部最稀疏；而过渡曲面S6与下部竖直基本曲面S5拼接处的控制顶点排列由两边至中间稀疏变化不大，因此后备箱盖过渡曲面处在中间有较明显的鸭尾，而两边鸭尾逐渐减弱以致消失，获得了不同的形状效果。

6 结束语

汽车车身A级曲面光顺是车身设计的关键技术之一。为提高曲面光顺的质量和效率，研究了曲面曲率对曲面控制顶点排列的影响。对于基本曲面，可根据曲面曲率大小调整曲面控制顶点的排列，曲率大的位置控制顶点密集，曲率小的位置控制顶点排列稀疏些。对于过渡曲面，根据其曲率大小和连续性调整控制顶点排列，以获得良好的形状品质和连续性要求。实例表明，合理控制顶点排列不仅可使曲面具有较好的品质，而且能提高曲面的光顺效率。

1 徐家川，雷雨成，洪英武，等.逆向工程中车身A级曲面的评价方法.汽车技术，2007（4）：4～8.

2 苏步青，刘鼎元.计算几何.上海：上海科学技术出版社，1981.

3 徐家川，雷雨成，洪英武，等.汽车车身A级曲面光顺方法.汽车技术，2008（2）：17～20.

4 于济业，徐家川，李迪，等.汽车车身曲面光顺中控制顶点的排列.汽车技术，2011(7)：51～54.

5 施法中.计算机辅助几何设计与非均匀有理B样条.北京：北京航空航天大学出版社，1994.