对一道2012年安徽省数学高考试题的别解及推广

●施开明 (苏州市第十中学 江苏苏州 215006)

图1

(1)如果点Q的坐标是(4，4)，求此时椭圆C的方程;

(2)证明：直线PQ与椭圆C只有一个交点.

(2012年安徽省数学高考理科试题)

本题第(2)小题考查的是椭圆的切线问题，常规的解法是求得直线PQ的方程，与椭圆方程联立，应用判别式证明方程组只有一组解.若应用椭圆的切线相关性质，则将得到第(2)小题更简洁的证法.同时在本题的基础上，可探究出一系列的结论，介绍如下，仅供参考(为了讨论方便，下面均假设相关直线的斜率存在).

证法1 解析法

显然 P'P″过焦点 F2，有

又F2P⊥F2Q，故点P与点P'重合，即直线PQ与椭圆C只有一个交点.

证法2 几何法

因为PF1⊥x轴，所以

于是|F2Q|=|F1H|，因此直线PQ为∠F1PF2的外角平分线.由椭圆的光学性质知，PQ为椭圆的切线，即直线PQ与椭圆C只有一个交点.

评注对椭圆的上述光学性质简证如下：

设F1关于直线 PQ的对称点为 F'1，联结PF'1，易得点 F1'，P，F2共线，从而|F1'F2|=2a.设P'是直线PQ上异于P的任意一点，则

因此点P'不可能在椭圆C上，点P为直线PQ与椭圆的唯一公共点，即PQ为椭圆的切线.

本题中的点P是椭圆通径的一个端点，从证法1不难看出，过程并未用到PF1⊥x轴这一条件.事实上，对椭圆上任意一点P，第(2)小题的结论均成立，且其逆命题亦成立，于是有

推广1 设F为椭圆的一个焦点，其相应的准线为l，点P，Q分别在椭圆及准线l上，则PF⊥FQ的充要条件是直线PQ为椭圆的切线.

(充分性)设P(x0，y0)，则切线PQ的方程为

式(1)正是椭圆在点P处的切线方程，即直线PQ为椭圆的切线.

推广2的证明方法与推广1类似，这里从略.显然当t=c时，即为推广1的结论.

在双曲线及抛物线中，也有类似的结论：

推广3 设F为双曲线的一个焦点，其相应的准线为 l，点 P，Q分别在双曲线及准线 l上，则PF⊥FQ的充要条件是直线PQ为双曲线的切线.

推广4 设F为抛物线的一个焦点，其相应的准线为 l，点 P，Q分别在抛物线及准线 l上，则PF⊥FQ的充要条件是直线PQ为抛物线的切线.

推广3的证明与推广1相同，这里从略.下面给出推广4的证明：

设抛物线方程为 y2=2px(p＞0)，P(x0，y0).

(充分性)切线PQ的方程为

因此 kPF·kQF=-1，即 PF⊥FQ.

式(2)即为抛物线在点P处的切线方程，即直线PQ为抛物线的切线.

上述4个推广可统一为如下定理：

定理设F为圆锥曲线C的一个焦点，其相应的准线为l，点P，Q分别在曲线C及准线l上，则PF⊥FQ的充要条件是直线PQ为曲线C的切线.