例谈变式教学提升教材例题、习题价值

●谢维勇 (眉山中学 四川眉山 620010)

面对现行高考升学的压力，不少一线教师认为教材中的例题、习题过于简单，除了偶尔作为随堂练习外，没有太大的利用价值，常从各种教辅资料中精选各类典型问题，然后归类形成各种解题套路或模式，再通过反复训练，强化学生的解题技巧.这种教学模式自然导致师生轻视教材，掉进题海中不能自拔.同时，每年的高考试题分析都会指出若干试题直接源于教材的例题、习题，教师仔细分析后深感遗憾.如今的教材是经过若干次修订而成，例题、习题也是编者反复思索后确定的，多数都比较典型，关键是教师该如何合理挖掘、提升其价值.

笔者认为，教师在教学中若能有意识地整合教材例题、习题资源，更好地体现编者意图，通过适当变式建立简单例题、习题与教辅资料中较难问题的联系，引导学生重视教材，同时能从“一题多解、多题一解、多解归一”等方面下功夫，则能将学生从机械重复的题海模式中解放出来，提高教学效率.本文就普通高中《数学》必修5第3章“不等式”复习参考题的第3题为例，说明如何通过变式提升教材例题、习题的价值.

图1

思路4 由2kx2+kx-＜0，得 2kx2＜ -kx+.设 f(x)=2kx2，g(x)=-kx+.其中f(x)=2kx2的图像为抛物线，g(x)=-kx+为一条直线，f(x)的图像恒在g(x)图像的下方，要满足条件，只能是f(x)=2kx2开口向下(如图1所示)：直线与抛物线相离，即f(x)=g(x)无解.而2kx2+kx-=0是关于x的一元二次方程，由Δ=k2+3k＜0，得

变式1 当k取什么值时，不等式2kx2+kx-＜0对一切实数x都成立?

分析和原题比较没有限定不等式的类型，需分k=0与k≠0讨论：当k=0时，不等式等价于-＜0，显然符合题意;当k≠0时，同原题，可得-3＜k＜0.

变式2 当k取什么值时，不等式2kx2+kx-＜0对一切实数x都不成立?

分析不等式2kx2+kx-＜0对一切实数x都不成立⇔不等式解集为φ⇔不等式2kx2+kx-≥0对一切实数x恒成立.变式3 当k取什么值时，不等式2kx2+kx-＜0的解集不为φ?

思路1 令f(x)=2kx2+kx-(x∈R)，则不等式2kx2+kx-＜0的解集不为φ⇔不等式2kx2+kx-＜0在R内有解⇔不等式2kx2+kx-＜0当x∈R时能成立⇔函数图像上至少存在一个点位于x轴的下方⇔f(x)min＜0.

思路2 正面情况较多，可考虑问题的反面，求出k的取值范围，再求出其在实数集内的补集即可.即求不等式2kx2+kx-≥0的解集为R时k的取值集合在实数集内的补集.

分析不等式2kx2+kx-＜0在x∈时恰好成立⇔不等式的解集为是一元二次方程2的2个根且k＞0.由韦达定理得

注不等式在区间I内恰好成立⇔不等式的解集为区间I.

(2)当 k＞0时，Δ =k2+3k＞0，于是

注含有参数的二次型不等式求解思路：先由二次项系数、判别式为0确定分界点，然后将给定参数范围分成若干部分依次求解(分界点单独讨论).

注不等式在区间I上恒成立求参数取值范围问题的常见思路有：

(1)构建辅助函数转化为函数最值问题(没有最值找上下临界值).

①若A＜f(x)在区间I上恒成立⇔在区间I上A＜f(x)min;

②若A＞f(x)在区间I上恒成立⇔在区间I上A＞f(x)max.

(2)先分离参数再转化为函数最值.

基本步骤：①先将参数与变量分离，转化为g(λ)＞f(x)(或 g(λ)＜f(x))在 x∈I恒成立的形式;

②求函数f(x)在区间I上的最大值(或最小值);

③解不等式 g(λ)＞f(x)max(或 g(λ)＜f(x)min)，求得λ的取值范围.

(3)转化为子集关系.

设不等式解集为Q，不等式在区间I上恒成立⇔I⊆Q.

(4)转化为函数图像问题.

先将不等式通过合理移项，使两端均为常见函数f(x)，g(x).不等式f(x)＞g(x)在区间I上恒成立⇔在区间I上，函数f(x)的图像始终位于函数g(x)图像的上方.

注不等式能成立求参数范围问题常见转化思路有：

(1)不等式f(x)＞A在区间I上能成立⇔I∩Q≠φ(其中Q为不等式f(x)＞A的解集)⇔不等式f(x)≤A在区间I上恒成立时参数取值集合的补集⇔f(x)max＞A;

(2)不等式f(x)＜A在区间I上能成立⇔I∩Q≠φ(其中Q为不等式f(x)＜A的解集)⇔不等式f(x)≥A在区间I上恒成立时参数取值集合的补集⇔f(x)min＜A.

通过对本题变式的研究，既使学生复习了不等式的基本性质和解法、函数最值求法、3个二次间的内在联系，又理顺了不等式在给定区间恒成立、能成立、恰好成立以及求参数范围问题的异同和各种常见求解思路，最后提升为具有可操作的解题模块，避免了机械重复的大量盲目解题，提高了学习效率.

总之，在日常教学中，如果我们能有意识地对现行教材的例题、习题进行适当整合、变式，让学生既能体会到手中教辅资料的题目源于教材，又能在习题变式中熟练所学概念、公式、法则的应用，引导学生重新重视教材的研习，从繁重而相对枯燥的题海模式中解脱出来，将更好地提高教学效率.