一类函数不等式的根源及应用

●张世林 谭柱魁 覃德才 (巴东一中 湖北巴东 (444300)

在近几年各地的高考压轴题中大量存在构设辅助函数证明不等式和求参数取值范围的问题.这类问题具有极强的综合性和思考性，小题之间由易到难，层层递进，联系紧密，浑然一体，入手容易，深入难，可使知识水平、能力层次不同的学生各有所得，具有较高的区分度.在解法方面，特别重视导数工具作用的考查，其中有一类函数不等式在高考试题中出现的频率较高，有必要对其进行深入探讨.

1 问题提出

设函数f(x)=axn(1-x)+b(x＞0)，n为正整数，a，b为常数，曲线 y=f(x)在(1，f(1))处的切线方程为x+y=1.

(1)求 a，b的值;

(2)求函数f(x)的最大值;

学生在处理本题第(1)和第(2)小题时，一部分基本功扎实的考生能够正确迅速求解，但是第(3)小题却少有考生问津，分析其中的原因，除了考试时间不够外，第(3)小题也确有较大的难度，同时也暴露出考生综合运用数学知识进行推理论证的能力较为薄弱.现就第(3)小题的证法进行深入探究.

2 合作共探，改进证法

参考答案如下：

在(0，1)上，φ'(t) ＜0，即 φ(t)单调递减;在(1，+∞)上，φ'(t) ＞0，即 φ(t)单调递增，故 φ(t)在(0，+∞)上的最小值为φ(1)=0，从而故所证不等式成立.

绝大部分考生在惊叹考题设计之精巧、解答天衣无缝的同时，仍一头雾水，满腹疑虑，为什么一开始就能构设出如此精准的辅助函数φ(t)，而不设成其他形式?其中有没有规律可寻?涉及不等式证明的试题真是“自古华山一条路”，可望而不可及吗?

带着疑问，师生交流，合作共探，对参考答案的解法作出了以下改进：

两边取自然对数，只要证

从而只要证

根据不等式(1)的结构特征，令所以g(t)在(0，+∞)单调递增，即

在改进后的证法中，分析与综合互相结合，构设辅助函数自然流畅，给人以水到渠成之感，易于为师生所理解并认同，从而消除了参考答案中构设辅助函数生硬、突然、深不可测的神秘和恐惧之感，增强了战胜这类问题的信心.

3 尝试变换，追根溯源

导数的引入为某些不等式的证明开辟了一条全新的途径，上述改进的证法中采用了一个重要的蕴涵着高等数学背景的函数不等式：

若 x＞ -1，则

特别地，若 x＞0，则

事实上，上述不等式的源头仍在教材之中，它可由人教A版普通高中课程标准实验教科书《数学》(选修2-2)第32页第1题的第(3)小题“ex＞1+x(x≠0)”，经过适当的变换而得：

用-x替换x，得e-x＞1-x，再取倒数得

两边取自然对数，得

在式(5)的两边用x-1替换x，得

在(6)的两边取自然对数，得

由式(5)，式(8)联立，得

在式(10)的两边取自然对数，得

由式(4)，式(11)联立并取自然对数，得

在式(13)中，取 k=1，2，…，n，得到的不等式相加，可得

在式(7)的两边令 x=k2(k≥2，k∈N*)，得

令 k=2，3，…，n，得到的不等式相加，可得

因此，在证明含有自然对数“ln”或“e”的数列不等式时，可以考虑构设辅助函数.证得上述函数不等式，再尝试对函数不等式中的x赋予与n有关的恰当的值，这是证题的关键;然后或裂项求和，或放缩后求和，或求和后放缩.它要求我们对函数、数列、不等式、导数的知识能够灵活地转换和熟练地运用.

4 以题攻题，触类旁通

近年来，在全国各地的高考试题或模拟试题中，有不少是由上述重要的函数不等式衍生而来的.

(1)试求函数f(x)的单调区间;

(2)已知各项不为0的数列{an}满足

分析(1)利用函数的不动点的意义可求得

(2)可求得an=-n(n∈N*).①待证不等式即为

取k=1，2，…，2 012，裂项相加求和即得所证不等式.

例2 已知函数f(x)=ex-x(e为自然对数的底数).

(1)求函数f(x)的最小值;

(2012年广东省广州市高三数学模拟试题)

分析(1)易得f(x)min=f(0)=1.

(2)由不等式(2)知：若 x＞ -1，有

分别取 k=n-1，n-2，…，2，1，0，再同向相加，得

评注第(2)小题的证明中，“e”究竟是如何变化出来的呢?只要将不等式(2)的对数式改写成指数式，再对x赋值、求和、放缩即可.

5 演练身手，巩固提升

(1)求a的值及f(x)的最大值;

(3)设 g(x)=b(ex-x)，若 f(x)≤g(x)恒成立，求实数b的取值范围.

(2012年湖北省武汉市数学调研试题)

(1)用 a表示 b，c;

(2)若f(x)≥lnx在［1，+∞)上恒成立，求 a的取值范围;

(2010年湖北省数学高考试题)

3.证明：对任意的正整数n，有

(2007年山东省数学高考理科试题)

(1)求 a，b的值;

(2012年辽宁省数学高考理科试题)f(x)=ln2(1+x)- x21+x.

5.已知函数

(1)求函数f(x)的单调区间;

(2008年湖南省数学高考试题)